Lý thuyết trọng tâm toán 10 cánh diều bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Tổng hợp kiến thức trọng tâm toán 10 cánh diều bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai. Tài liệu nhằm củng cố, ôn tập lại nội dung kiến thức bài học cho học sinh dễ nhớ, dễ ôn luyện. Kéo xuống để tham khảo

I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG $\sqrt{f(x)}= \sqrt{g(x)}$ (I)

($f(x) = ax^2 + bx + c$ và $g(x) = mx^2 + nx + p$ với $a \neq m$, a hoặc m có thể bằng 0).

Để giải phương trình (I), ta làm như sau:

Bước 1. Bình phương hai vế của (I) dẫn đến phương trình $f(x) = g(x)$ rồi tìm nghiệm của phương trình này. 

Bước 2. Thay từng nghiệm của phương trình $f(x) = g(x)$ vào bất phương trình $f(x) \geq 0$ (hoặc $g(x) \geq 0$). Nghiệm nào thoả mãn bất phương trình đó thì giữ lại, nghiệm nào không thoả mãn thì loại đi. 

Bước 3. Trên cơ sở những nghiệm giữ lại ở Bước 2, ta kết luận nghiệm của phương trình (I).

Chú ý:

+ Trong hai bất phương trình $f(x) \geq 0$ và $g(x) \geq 0$, ta thường chọn bất phương trình có dạng đơn giản hơn để thực hiện Bước 2.

+ Người ta thường chứng minh được rằng tập hợp (số thực) giữ lại ở Bước 2 chính là tập nghiệm của phương trình (I). 

Ví dụ 1, 2 (SGK – tr57)

Luyện tập 1: 

$\sqrt{3x^2-4x+1}= \sqrt{x^2+x-1}$ (1)

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được: 

$3x^2-4x+1=x^2+x-1$

⟺ $2x^2 – 5x + 2 = 0$

⟺ $x = 2$ hoặc $x = \frac{1}{2}$

Thay lần lượt 2 giá trị $x = 2$ và $x = \frac{1}{2}$ vào $x^2+x-1 \geq 0$ ta thấy chỉ có $x = 2$ thoả mãn bất phương trình. 

Vậy $x = 2$ là nghiệm của phương trình đã cho. 

II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG $\sqrt{f(x)}=g(x)$ (II)

($f(x) = ax^2 + bx + c$ và $g(x) = dx + e$ với $a \neq d^2$, a hoặc d có thể bằng 0). 

Để giải phương trình (II), ta làm như sau:

Bước 1: Giải bất phương trình $g(x) \geq 0$ để tìm tập nghiệm của bất phương trình đó. 

Bước 2: Bình phương hai vế của (II) dẫn đến phương trình $f(x) = [gx]^2$ rồi tìm nghiệm của phương trình đó. 

Bước 3: Trong những nghiệm của phương trình $f(x) = [gx]^2$, ta chỉ giữ lại những nghiệm thuộc tập nghiệm của bất phương trình $gx ≥ 0$. Tập nghiệm giữ lại đó chính là tập nghiệm của phương trình (II).

Ví dụ 3(SGK – tr57-58)

Luyện tập 2:

$\sqrt{3x-5}=x-1 (1)$

Ta có $x - 1 ≥ 0 ⇔x ≥ 1 (2)$

Bình phương hai vế của (1) ta được $3x-5=x^2-2x+1⇔-x^2+5x-6=0$

$\left[\begin{array}{l}x =2 \\x =3 \\\end{array}\right.$

Hai giá trị đều thỏa mãn (2)

Vậy phương trình có nghiệm {2;3}.

Ví dụ 4 (SGK – tr57-58)

Xem thêm các bài Giải Toán 10 tập 1 cánh diều, hay khác:

Xem thêm các bài Giải Toán 10 tập 1 cánh diều được biên soạn cho Học kì 1 & Học kì 2 theo mẫu chuẩn của Bộ Giáo dục theo sát chương trình Lớp 10 giúp bạn học tốt hơn.

Lớp 10 | Để học tốt Lớp 10 | Giải bài tập Lớp 10

Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 10, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 10 giúp bạn học tốt hơn.

Lớp 10 - Kết nối tri thức

Giải sách giáo khoa

Giải sách bài tập