4. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn. Qua điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D.
Chứng minh rằng:
a, $\widehat{COD}=90^{0}$
b, CD = AC + BD
c, Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
Bài Làm:
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
a, $\left\{\begin{matrix}\widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}} & & \\ \widehat{O_{3}}=\widehat{O_{4}} & & \end{matrix}\right.$
=> $\widehat{AOB}=\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{2}}+\widehat{O_{3}}+\widehat{O_{4}}$
= $2\widehat{O_{1}}+2\widehat{O_{3}}=2.(\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{3}})=2\widehat{COD}=180^{0}$
=> $\widehat{COD}=\frac{180^{0}}{2}=90^{0}$
b, $\left\{\begin{matrix}CM=CA & & \\ DM=DB & & \end{matrix}\right.$
=> CD = CM + MD = CA + BD
c, Gọi bán kính của nửa đường tròn là R thì OM = R
Áp dụng hệ thức về đường cao cho tam giác COD vuông tại O, ta có:
OM$^{2}$ = MC.MD = AC.BD = R$^{2}$
R$^{2}$ không đổi => Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.