1. Cho tam giác ABC có chu vi 2p ngoại tiếp (I, r) gọi a, b, c, ha, hb, hc theo thứ tự là độ dài và chiều cao tương ứng của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a, $\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{r}$
b, ha + hb + hc = 2pr($\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$)
2. Cho (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB tại D. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại C khi và chỉ khi CA.CB = 2DA.DB
Bài Làm:
1. a, Tính diện tích tam giác ABC bằng hai cách:
Cách 1: 2S = a.ha = b.hb = c.hc = $\frac{a}{\frac{1}{h_{a}}}+\frac{b}{\frac{1}{h_{b}}}+\frac{c}{\frac{1}{h_{c}}}=\frac{a+b+c}{\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}}$ (1)
Cách 2: S = SIAB + SIBC + SIAC = $\frac{1}{2}$r.AB + $\frac{1}{2}$r.BC + $\frac{1}{2}$r.AC
<=> 2S = r(AB + AC + BC) = 2rp (2)
Từ (1) và (2) => $\frac{a+b+c}{\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}}$ = 2pr
<=> $\frac{2p}{\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}}$ = 2pr
<=> $\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{r}$ (đpcm)
b, Tương tự câu a, ta có:
2S = a.ha = b.hb = c.hc = $\frac{h_{a}}{\frac{1}{a}}+\frac{h_{b}}{\frac{1}{b}}+\frac{h_{c}}{\frac{1}{c}}=\frac{h_{a}+h_{b}+h_{c}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$ = 2pr
Vậy ha + hb + hc = 2pr($\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$)
2. Gọi E, F lần lượt là tiếp điểm của (I) với BC, CA.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì CE = CF = x, BE = BD = z và AD = AF = y
Theo giả thiết: CA.CB = 2DA.DB
<=> (x + y)(x + z) = 2yz
<=> x$^{2}$ + xy + xz = yz
<=> 2x$^{2}$ + 2xy + 2xz = 2yz
<=> 2x$^{2}$ + 2xy + 2zx + yx$^{2}$ + zx$^{2}$ = 2yz + yx$^{2}$ + zx$^{2}$
<=> (x + y)$^{2}$ + (z + x)$^{2}$ = (y + z)$^{2}$
<=> CA$^{2}$ + AB$^{2}$ = CB$^{2}$
Theo định lý Py-ta-go đảo => Tam giác ABC vuông tại C
