Sử dụng tính chất đặc trưng của tiếp tuyến để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

3.

Vì tam gác ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}=\alpha $

Do $\widehat{ABx}=90^{0}$ nên $\widehat{B_{2}}+\alpha =90^{0}$ 

Mặt khác $\widehat{B_{1}}+\alpha =90^{0}$ do tam giác BHC vuông tại H

=> $\widehat{B_{1}}=\widehat{B_{2}}$

Xét tam giác BHC và tam giác BDC có:

• $\widehat{B_{1}}=\widehat{B_{2}}$
• BH = BD (bán kính đường tròn)
• Cạnh BC chung

Suy ra $\Delta $BHC = $\Delta $BDC (c.g.c)

=> $\widehat{H}=\widehat{D}$

CD vuông góc với bán kính BD tại D nên CD là tiếp tuyến của (B)

4. 

a, Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau có: 

$\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}$ và $\widehat{A_{4}}=\widehat{A_{3}}$

=> $\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{4}}=\widehat{A_{2}}+\widehat{A_{3}}=\widehat{BAC}=90^{0}$

Suy ra $\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}+\widehat{A_{3}}+\widehat{A_{4}}=\widehat{DAE}=180^{0}$

Vậy A, D, E thẳng hàng.

b, Gọi O là trung điểm của BC thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A, đường kính BC.

Lại có DA = AE nên OA là đường trung bình của hình thang BDEC suy ra OA // BD do đó OA $\perp $ DE. 

OA vuông góc với bán kính OA tại A => DE tiếp xúc với đường tròn (O) đường kính BC.

5.

Vì tam giác EKC có cạnh EC là đường kính đường tròn ngoại tiếp nên tam giác EKC vuông tại K.

Kẻ HI $\perp $ AK thì BA // HI // EK (1)

mà BH = HE (2) (theo gt)

Từ (1) và (2) suy ra BA, HI, EK là ba đường thẳng song song cách đều nên AI = IK suy ra tam giác AHK cân tại H do đó $\widehat{K_{1}}=\widehat{B}$ (vì cùng phụ với góc $\widehat{HAK}$).

Lại có $\widehat{C_{3}}=\widehat{K_{2}}$ (do OC = OK với O là tâm đường tròn đường kính EC) nên $\widehat{K_{1}}+\widehat{K_{2}}=90^{0}$

Do $\widehat{AKC}=180^{0}$ nên $\widehat{HKO}=90^{0}$ hay HK vuông góc với bán kính OK tại K.

Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC.