1. Cho hình thang vuông ABCD có ($\widehat{A}=\widehat{B}=90^{0}$) có I là trung điểm của AB và góc $\widehat{CID}=90^{0}$. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
2. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn. Kẻ tiếp tuyến tại M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến này cắt Ax, By theo thứ tự tại C, D. Chứng minh rằng đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.
Bài Làm:
1.
Vì $\widehat{CID}=90^{0}$ nên DI $\perp $ CE hay DI là đường cao của tam giác CDE (E là giao điểm của CI với tia DA) (1)
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho BC // EA ta có:
$\frac{CI}{IE}=\frac{BI}{IA}$ = 1 hay CI = IE (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác CDE cân tại D
=> $\widehat{E}=\widehat{C_{2}}$ (theo tính chất tam giác cân) (3).
Lại có $\widehat{C_{1}}=\widehat{E}$ (so le trong) (4)
Từ (3) và (4) suy ra CI là tia phân giác của góc BCD.
Kẻ IH $\perp $ CD thì IH là khoảng cách từ tâm I của đường tròn đường kính AB đến CD.
IH = IB (tính chất tia phân giác)
Vậy DC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
2.
Kẻ OI $\perp $ AB (I $\in $ CD) thì CA // IO // DB (1)
Mà AO = OB (2) (vì bán kính)
Từ (1) và (2) suy ra CA, IO, DB là ba đường thẳng song song cách đều nên CI = ID. Lúc đó I là tâm đường tròn đường kính CD và IO là khoảng cách d từ tâm I đến AB.
Do OI là đường trung bình của hình thnag ACDB nên d = OI = $\frac{AC+BD}{2}$
Lại có CA = CM, DB = DM (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên:
$\frac{AC+BD}{2}$ = $\frac{CM+DM}{2}$ = $\frac{DC}{2}$ = R là bán kính của đường tròn (I).
Do d = R => AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.