3. Cho tứ giác ABCD có $\widehat{B}=\widehat{D}=90^{0}$.
a, Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn
b, Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì?
4. Cho tứ giác ABCD có AC $\perp $ BD. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
Bài Làm:
3.
a, Vì tam giác vuông ABC và ADC có chung cạnh huyền AC nên hai đỉnh góc vuông B, D nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
b, Nếu AC = BD thì BD là một đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD nên $\widehat{A}=90^{0}$.
Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật (vì tứ giác có 3 góc vuông).
4. Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Do AC $\perp $ BD nên $\widehat{I}=\widehat{I_{1}}+\widehat{I_{2}}=90^{0}$
Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên MN, NP, PQ, QM là đường trung bình của tam giác BAC, CBD, ABD => MN // AC // PQ; MQ // BD // NP nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Lại có: $\left\{\begin{matrix}\widehat{I_{1}}=\widehat{N_{1}} & & \\ \widehat{I_{2}}=\widehat{N_{2}} & & \end{matrix}\right.$ (so le trong)
=> $\widehat{N}=\widehat{I}=90^{0}$
Do đó MNPQ là hình chữ nhật.
Hai tam giác vuông MNP và MQP có chung cạnh huyền MP nên hai đỉnh góc vuông N, Q nằm trên đường tròn đường kính MP.
Vậy 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.