Cách giải bài dạng: Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để giải tam giác vuông Toán lớp 9

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Định lí: Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

• Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề
• Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề

Trong tam giác ABC vuông tại A ta có hệ thức:

b = a.sinB = a.cosC = c.tanB = c.cotB

c = a.sinC = a.cosB = b.tanC = b.cotB

1. Giải tam giác vuông biết độ dài một cạnh và số đo một góc nhọn

• Bước 1: Xác định cạnh kề, cạnh đối. Viết tỉ số lượng giác để tìm độ dài các cạnh.
• Bước 2: Tính góc nhọn còn lại nhờ quan hệ phụ nhau.
• Bước 3: Thay giá trị rồi tính.

Ví dụ 1: Giải tam giác ABC vuông tại A, biết:

a, AC = 10cm; $\widehat{C}=30^{0}$

b, BC = 20cm, $\widehat{B}=35^{0}$

Hướng dẫn:

a, Vì AC = 10cm, kề với góc 30$^{0}$ nên cạnh AB đối diện với góc 30$^{0}$. Ta có:

tan30$^{0}$ = $\frac{AB}{AC}$ <=> $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{AB}{10}$

<=> AB = $\frac{10}{\sqrt{3}}\approx 5,774$ (cm);

cos30$^{0}$ = $\frac{AC}{BC}$ <=> $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{10}{BC}$

<=> BC = $\frac{20}{\sqrt{3}}\approx 11,547$ (cm)

Và $\widehat{B}=90^{0}-30^{0}=60^{0}$

b, Vì  $\widehat{B}=35^{0}$ => $\widehat{C}=90^{0}-35^{0}=55^{0}$ và AB là cạnh kề, AC là cạnh đối với góc $35^{0}$.

Do đó: sin35$^{0}$ = $\frac{AC}{BC}$ <=> $\frac{AC}{20}$ = sin35$^{0}$

<=> AC = 20.sin35$^{0}\approx $11,472 cm

$\frac{AB}{20}$ = cos35$^{0}$ <=> AB = 20.cos35$^{0}\approx $16,383 cm

2. Giải tam giác vuông biết hai cạnh

• Bước 1: Áp dụng định lí Py-ta-go để tìm cạnh còn lại.
• Bước 2: Xác định cạnh kề, cạnh đối, viết tỉ số lượng giác
• Bước 3: Tính góc nhọn còn lại nhờ quan hệ phụ nhau.

Ví dụ 2: Giải tam giác ABC vuông A biết AB = 21cm, AC = 18cm

Hướng dẫn:

Áp dụng hệ thức Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A, thu được:

BC$^{2}$ = AC$^{2}$ + AB$^{2}$ <=> BC$^{2}$ = 21$^{2}$ + 18$^{2}$ = 765

<=> BC = $\sqrt{765}=3\sqrt{85}$ (cm)

tanB = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{18}{21}\approx $0,8571 cm

=> $\widehat{B}\approx 41^{0}$ => $\widehat{C}=90^{0}-41^{0}=49^{0}$

3. Tính cạnh, tính góc của tam giác

• Bước 1: Kẻ thêm đường cao xuống cạnh kề của góc đã biết
• Bước 2: Chuyển bài toán về giải tam giác vuông biết một cạnh và một góc.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, trong đó BC = 11cm, $\widehat{ABC}=38^{0}$; $\widehat{ACB}=30^{0}$. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC. Hãy tính:

a, Độ dài đọa thẳng AN

b, Độ dài cạnh AC.

Hướng dẫn:

Kẻ BH vuông góc với AC thì tam giác BHC vuông tại H nên $\widehat{ACB}=30^{0}$ phụ với góc $\widehat{HBC}$ => $\widehat{HBC}=60^{0}$ và $\widehat{HBA}=60^{0}-38^{0}=22^{0}$

Do đó: BH = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$.11 = 5,5 (cm) (vì trong tam giác vuông cạnh đối diện với góc $30^{0}$ bằng nửa cạnh huyền)

a, Tam giác BHA vuông tại H, cạnh huyền BA và cạnh góc vuông BH = 5,5cm kề với góc $\widehat{HBA}=22^{0}$ nên: 

cos$22^{0}$ = $\frac{BH}{AB}$ => AB = $\frac{5,5}{cos22^{0}}\approx 5,932$ cm

Kẻ AN vuông góc với BC. Trong tam giác ABN vuông tại N có AN đối diện với góc $38^{0}$ nên:

sin$38^{0}$ = $\frac{AN}{AB}$ => AN = AB.sin$38^{0}$ = 5,932.sin$38^{0}\approx 3,652$ cm

b, Tam giác ANC vuông tại N, có $\widehat{C}=30^{0}$ nên AC = $\frac{AN}{sin30^{0}}\approx \frac{3,652}{0,5}=7,304$ (cm)