Bài 3: Trang 18 - sgk giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{|x|}$ không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
Bài Làm:
Xét giới hạn của tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ của hàm số $y=\sqrt{|x|}$ ta thấy
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{|0+\Delta x|}-\sqrt{0}}{\Delta x}=\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{|\Delta x|}}{\Delta x}=\left\{\begin{matrix} +\infty, \forall \Delta x >0\\ -\infty, \forall \Delta x <0 \end{matrix}\right.$
Vậy hàm số $y=\sqrt{|x|}$ không có đạo hàm tại x=0.
Mặt khác, xét $y=\sqrt{|x|}$ trong khoảng (0-h,0+h) với h>0.
Ta có $\sqrt{|x|}>0, \forall x \in (0-h;0+h)$
Theo định nghĩa hàm số $y=\sqrt{|x|}$ đạt cực tiểu tại x=0.