1. ƯỚC CHUNG VÀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT
Hoạt động 1:
a) Các ước của 30 và của 48 theo thứ tự tăng dần:
|
Các ước của 30 |
Các ước của 48 |
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
3 |
3 |
|
5 |
4 |
|
6 |
6 |
|
10 |
8 |
|
15 |
12 |
|
30 |
16 |
|
24 |
|
|
48 |
b) Các số vừa ở cột thứ nhất vừa ở cột thứ 2 là: 1;2;3;6.
Kết luận:
Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.
Số lớn nhất trong các ước chung của a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.
Quy ước:
Viết tắt ước chung là ƯC và ước chung lớn nhất là ƯCLN
Ta kí hiệu: Tập hợp các ước chung của a và b là ƯC(a, b); ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN (a, b).
VD: ƯC ( 30, 48) = {1; 2; 3; 6}.
ƯCLN (30, 48) = 6
Luyện tập 1:
a) Số 8 là ước chung của 24 và 56 vì 8 vừa là ước của 24 vừa là ước của 56.
b) Số 8 không phải là ước chung của 14 và 48 vì 8 là ước của 48 nhưng không phải là ước của 14.
* Chú ý:
- Số tự nhiên n được gọi là ước chung của ba số a, b, c nếu n là ước của ba số a, b, c.
Luyện tập 2:
Số 7 là ước chung của 14, 49, 63 vì 7 vừa là ước của 14, vừa là ước của 49, vừa là ước của 63.
Hoạt động 2:
a) Các ước chung của 24 và 36 là 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Vậy ƯC(24, 36) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
b) ƯCLN(24, 36) = 12.
c) ƯCLN(24, 36) = 12.
Chia ƯCLN cho các ước chung:
12 : 1 = 12
12 : 2 = 6
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
12 : 12 = 1
Kết luận:
Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.
Luyện tập 3:
Vì ước chung của a và b đều là ƯCLN(a, b) = 80 nên tất cả các số có hai chữ số là ước chung của a và b là: 10, 16, 20, 40, 80.
2. TÌM ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH CÁC SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ
Hoạt động 3:
Bước 1: Phân tích 36 và 48 ra thừa số nguyên tố.
36 = 2.2.3.3 = 2$^{2}$.3$^{2}$
48 = 2.2.2.2.3 = 2$^{4}$.3
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung của 36 và 48 là 2 và 3.
Bước 3: Với mỗi thừa số nguyên tố chung 2 và 3, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất:
+ Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2; ta chọn 2$^{2}$.
+ Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1; ta chọn 3$^{1}$.
Bước 4: Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm:
ƯCLN ( 36, 48) = 2$^{2}$.3$^{1}$ = 12.
Kết luận:
Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất.
Bước 4: Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm.
Luyện tập 4:
126 = 2.7.3$^{2}$
162 = 2$^{3}$. 3$^{3}$
=> ƯCLN (126; 162) = 2.3$^{2}$ = 18
Chú ý:
- Nếu hai số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng.
- Nếu a ⋮ b thì ƯCLN (a,b) = b. Chẳng hạn: ƯCLN (168, 180) = 2$^{2}$.3$^{1}$ = 4.3 = 12
3. HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU VÀ PHÂN SỐ TỐI GIẢN
Hoạt động 4:
ƯCLN ( 8, 27) = 1
Kết luận:
Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.
Luyện tập 5:
Có: ƯCLN (24,35) = 1
=> Hai số 24 và 35 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Hoạt động 5:
a) Có: ƯCLN(4,9) = 1.
=> Hai số 4 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau.
b) Có thể rút gọn phân số:
$\frac{4}{9}=\frac{2}{3}$
Kết luận:
Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ 6:
a) ƯCLN ( 16, 20) = 4.
Vậy $\frac{16}{20}=\frac{16:4}{20:4}=\frac{4}{5}$
b) Ta có:
18 : 3 = 6
$\frac{3}{7}=\frac{3.6}{7.6}=\frac{18}{42}$