Giải bài tập cuối chương 8

Giải bài 1 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC cân tại A ( $\widehat{A}$ < 90°). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng ∆ BEC = ∆ CFB.

b) Chứng minh rằng ∆ AHF = ∆ AHE.

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

a)∆ ABC cân tại A => $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ và AB = AC

=> $\widehat{FBC}$ = $\widehat{ECB}$

BE và CF là hai đường cao của ∆ ABC

=> ∆BEC và  ∆ CFB là 2 tam giác vuông lần lượt tại E và F.

+ Xét ∆BEC vuông tại E và ∆CFB vuông tại F có:

BC chung

$\widehat{FBC}$ = $\widehat{ECB}$

=> ∆ BEC = ∆ CFB (góc nhọn và một cạnh góc vuông)

b) Theo a:  ∆BEC =∆ CFB

=> EC = FB 

Có AF = AB - FB

     AE= AC - EC

mà AB = AC, EC = FB

=> AF = AE

BE và CF là hai đường cao cắt nhau tại H

=> ∆ AFH và  ∆ AEH là 2 tam giác vuông lần lượt tại F và E.

+ Xét ∆ AFH vuông tại F và  ∆AEH vuông tại E  có: 

AH chung

AF = AE

=> ∆ AFH = ∆ AEH (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

c) H là giao điểm của 2 đường cao BE và CF trong tam giác ABC

=> H là trực tâm của ∆ ABC

=> AH ⊥ BC (1)

Có I là trung điểm của BC

=> AI là đường trung tuyến của ∆ ABC

Xét  ∆ ABI và  ∆ ACI  có: 

AB = AC

AI chung 

IB = IC (I là trung điểm của BC)

=> ∆ ABI =  ∆ ACI (c.c.c)

=> $\widehat{AIC}$ = $\widehat{AIB}$

Có $\widehat{AIC}$ + $\widehat{AIB}$ = 180°

=> 2$\widehat{AIB}$ = 180°

=> $\widehat{AIB}$ = 90°

=> AI ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) => A, I, H thẳng hàng.

Giải bài 2 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM.

a) Chứng minh tam giác ABM cân.

b) Chứng minh rằng ∆ ABC = ∆ MBC.

Hướng dẫn giải:

a) Có AH là đường cao của ∆ ABC

=> AH ⊥ BC hay AM ⊥ BH

=> ∆BHA và ∆AHM là 2 tam giác vuông tại H

Xét ∆ BHA và ∆ BHM cùng vuông tại H có :

BH chung

AH = HM

=> ∆BHA = ∆BHM (hai cạnh góc vuông)

=> BA = BM 

=> ∆ABM cân tại B.

b) Theo a: ∆BHA = ∆BHM 

=> $\widehat{ABH}$ = $\widehat{MBH}$ hay $\widehat{ABC}$ = $\widehat{MBC}$

Xét ∆ABC và ∆MBC có :

  BC chung

  $\widehat{ABC}$ = $\widehat{MBC}$

  AB = BM

=> ∆ABC = ∆MBC (c.g.c)

Giải bài 3 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB , AC), vẽ đường cao AH. Trên tia đối của HC lấy điểm D sao cho HD = DC.

a) Chứng minh AC = AD.

b) Chứng minh rằng   $\widehat{ADB}$ = $\widehat{BAH}$.

Hướng dẫn giải:

a)Ta có AH  là đường cao của ∆ ABC

=>  ∆ AHD và ∆ AHC là 2 tam giác vuông tại H

Xét ∆ AHD và ∆ AHC cùng vuông tại H có :

 AH chung

 HD = HC

=> ∆AHD và ∆AHC (hai cạnh góc vuông)

=> AC = AD

b)

+ ∆ABC vuông tại A nên  $\widehat{ABC}$ + $\widehat{ACB}$= 90°

∆ABH vuông tại H nên $\widehat{ABH}$ + $\widehat{HAB}$= 90°

=> $\widehat{ACB}$ = $\widehat{HAB}$

+ Có AC = AD => ∆ ACD cân tại A

=>  $\widehat{ACD}$ = $\widehat{ADC}$

mà $\widehat{ACB}$ = $\widehat{HAB}$

=> $\widehat{ADB}$ = $\widehat{HAB}$.

Giải bài 4 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ BE ⊥ AN (E thuộc AN).

a) Chứng minh rằng BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh rằng NK // CA.

c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB và NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân.

Hướng dẫn giải:

a) Xét ∆ABE và ∆NBE cùng vuông tại E có:

  AB = BN 

  BE chung

=> ∆ABE = ∆NBE (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

=> $\widehat{ABE}$ = $\widehat{NBE}$ 

=> BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Xét tam giác ABN có: AH và BE là hai đường cao cắt nhau tại K

=> K là trực tâm tam giác ABN

=> NK ⊥ AB

mà AC ⊥ AB

=> NK // AC.

c) Xét ∆FBN và ∆ FBA có :

 BN = BA

 $\widehat{NBF}$ = $\widehat{ABF}$ (chứng minh trên)

 BF chung

=> ∆FBN và ∆FBA (c.g.c)

mà ∆ FBA vuông tại A

=> ∆ FBN vuông tại N

=> BN ⊥ FN hay BN ⊥ GN

=> ∆ BNG vuông tại N

Xét 2 tam giác vuông ∆BNG và ∆BAC có

  BN = BA

  $\widehat{ABN$ chung

=> ∆BNG = ∆BAC (góc nhọn và một cạnh góc vuông)

=> BG = BC

=> ∆ BCG cân tại B.

Giải bài 5 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

a) Chứng minh rằng  $\widehat{BMN}$ = $\widehat{HAC}$.

b) Kẻ MI ⊥ AH (I thuộc AH), gọi K là giao điểm của AH với bM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Hướng dẫn giải:

a) M, N thuộc đường trung trực của BC

=> MB = MC, NB = NC

=> ∆ MBC cân tại M, N là trung điểm của BC

=> MN là đường trung tuyến của ∆ MBC cân tại M

Xét ∆ MBN  và ∆ MCN có :

MB = MC

BN = NC

MN chung

=> ∆ MBN  = ∆ MCN ( c.c.c)

=> $\widehat{BMN}$ = $\widehat{CMN}$

∆ AHC vuông góc tại H

=> $\widehat{HAC}$ + $\widehat{HCA}$ = 90°

hay $\widehat{MCN}$ + $\widehat{HAC}$ = 90° (1)

∆ MNC vuông góc tại N ( MN là đường trung trực của BC )

=>  $\widehat{MCN}$ + $\widehat{NMC}$ = 90°

mà  $\widehat{BMN}$ = $\widehat{CMN}$

=> $\widehat{MCN}$ +$\widehat{HAC}$ = 90° (2)

Từ (1) và (2) ta có : $\widehat{HAC}$ = $\widehat{BMN}$

b) Kẻ MI ⊥ AH

         AH ⊥ BC

=> IM // BC

=> $\widehat{IMB}$ = $\widehat{MBC}$ ( 2 góc so le trong )

      $\widehat{AMI}$ = $\widehat{MCB}$ ( 2 góc đồng vị )

Mà ∆MBC cân tại M nên $\widehat{MBC}$  =  $\widehat{MBC}$ 

=> $\widehat{IMB}$ = $\widehat{AMI}$ 

Xét ∆MIK và ∆MIA cùng vuông tại I có :

MI chung

$\widehat{IMK}$ = $\widehat{AMI}$ (chứng minh trên)

=> ∆MIK = ∆MIA (góc nhọn và một cạnh góc vuông).

=> IK = IA

=> I là trung điểm của AK.