Bài 7 trang 84 toán 7 tập 2 CTST
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = $\frac{1}{2}$ AC, AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ (D thuộc BC). Gọi E là trung điểm của AC.
a) Chứng minh rằng DE = DB.
b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK.
c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AH ⊥ CK.
Bài Làm:
a) Xét ∆ABD và ∆AED có
AD chung
$\widehat{BAD}$ = $\widehat{EAD}$ ( AD là đường phân giác)
AB = AE
=> ∆ ABD = ∆ AED (c.g.c)
=> BD = ED
b) + Chứng minh tam giác DCK cân.
Theo a: ∆ ABD = ∆ AED nên $\widehat{DBA}$ = $\widehat{DEA}$
Ta có:
$\widehat{DBK}$ + $\widehat{DBA}$ = 180°
$\widehat{DEC}$ + $\widehat{DEA}$ = 180°
Mà $\widehat{DBA}$ = $\widehat{DEA}$
=> $\widehat{DBK}$ = $\widehat{DEC}$
Xét ∆CDE và ∆KDB có:
$\widehat{KDB}$ = $\widehat{CDE}$ ( 2 góc đối đỉnh)
DE = DB (chứng minh câu a)
$\widehat{DBK}$ = $\widehat{DEC}$ (chứng minh trên)
=> ∆CDE = ∆KDB (g.c.g)
=> DC = DK
=> ∆DCK cân tại D
+ Chứng minh B là trung điểm của đoạn thẳng AK.
Ta có: ∆CDE = ∆KDB nên EC = KB
mà E là trung điểm của AC nên EC = AE = $\frac{1}{2}$ AC
mà AB = $\frac{1}{2}$ AC
=> KB = AB
mà A, B, K thẳng hàng
=> B là trung điểm của AK
c) B là trung điểm của AK
=>AB = $\frac{1}{2}$ AK
mà AB = $\frac{1}{2}$ AC
=> AK = AC
Xét ∆KAH và ∆CAH có:
AK = AC
$\widehat{KAH}$ = $\widehat{CAH}$ (AD là đường phân giác của $\widehat{BAC}$)
AH chung
=> ∆KAH = ∆CAH (c.g.c)
=> $\widehat{AHK}$ = $\widehat{AHC}$
mà $\widehat{AHK}$ + $\widehat{AHC}$ = 180°
=> 2$\widehat{AHC}$ = 180°
=> $\widehat{AHC}$ = 90°
=> AH ⊥ HC hay AH ⊥ CK.
