Cho tứ giác và các giả thiết chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn

3. Cho tứ giác ABCD có $\widehat{B}=\widehat{D}=90^{0}$.

a, Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

b, Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì?

4. Cho tứ giác ABCD có AC $\perp $ BD. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

Bài Làm:

3.

Cho tứ giác và các giả thiết chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn

a, Vì tam giác vuông ABC và ADC có chung cạnh huyền AC nên hai đỉnh góc vuông B, D nằm trên đường tròn đường kính BC.

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

b, Nếu AC = BD thì BD là một đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD nên $\widehat{A}=90^{0}$.

Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật (vì tứ giác có 3 góc vuông).

4. Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Cho tứ giác và các giả thiết chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn

Do AC $\perp $ BD nên $\widehat{I}=\widehat{I_{1}}+\widehat{I_{2}}=90^{0}$

Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên MN, NP, PQ, QM là đường trung bình của tam giác BAC, CBD, ABD => MN // AC // PQ; MQ // BD // NP nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Lại có: $\left\{\begin{matrix}\widehat{I_{1}}=\widehat{N_{1}} &  & \\ \widehat{I_{2}}=\widehat{N_{2}} &  & \end{matrix}\right.$ (so le trong)

=> $\widehat{N}=\widehat{I}=90^{0}$

Do đó MNPQ là hình chữ nhật.

Hai tam giác vuông MNP và MQP có chung cạnh huyền MP nên hai đỉnh góc vuông N, Q nằm trên đường tròn đường kính MP.

Vậy 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

Xem thêm Bài tập & Lời giải

Trong: Cách giải bài dạng: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn Toán lớp 9

1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ M là điểm bất kì trên cạnh BC kẻ MD $\perp $ AB, ME $\perp $ AC. Chứng minh 5 điểm A, D, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn 

2. Cho tam giác ABC vuông tại A gọi D là điểm đối xứng với A qua cạnh BC. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Xem lời giải

Xem thêm các bài Chuyên đề toán 9, hay khác:

Để học tốt Chuyên đề toán 9, loạt bài giải bài tập Chuyên đề toán 9 đầy đủ kiến thức, lý thuyết và bài tập được biên soạn bám sát theo nội dung sách giáo khoa Lớp 9.

Lớp 9 | Để học tốt Lớp 9 | Giải bài tập Lớp 9

Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 9, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 9 giúp bạn học tốt hơn.