1. Một hình nón có bán kính đáy bằng 5cm và diện tích xung quanh là 65$\pi cm^{2}$. Tính thể tích của hình nón đó.
2. Một hình nón có đường sinh dài 17cm và diện tích xung quanh là 136$\pi cm^{2}$.
a) Tính chiều cao của hình nón đó.
b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón.
3. Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn để đựng nước có các bán kính đáy là 14cm và 9cm, chiều cao là 23cm.
a) Tính dung tích của xô.
b) Tính diện tích tôn để làm xô (coi như diện tích các mép gấp không đáng kể)
Bài Làm:
1. Áp dụng công thức V = $\frac{1}{3}\pi R^{2}h$ có R = 5cm ta còn phải tính h = SO.
Từ giả thiết ta có:
Sxq = $\pi Rl=65\pi \Leftrightarrow l=\frac{65\pi }{5\pi }=13(cm)$
Áp dụng định lý Py-ta-go vào $\Delta $SOA vuông tại O ta được:
$SA^{2}=AO^{2}+OS^{2}$ hay $13^{2}=5^{2}+h^{2}$
$\Leftrightarrow h=12$
Vậy thể tích của hình nón là:
V = $\frac{1}{3}\pi .5^{2}.12=100\pi (cm^{3})$
2.
a) Áp dụng định lý Py-ta-go vào $\Delta $SAO vuông tại O ta được:
$l^{2}=R^{2}+h^{2}$ hay $h^{2}=l^{2}-R^{2}=17^{2}-R^{2}$
Lại có Sxq = $\pi Rl=136\pi $ hay R = $\frac{136\pi }{\pi .17}=8$ (cm)
Nên $h^{2}=17^{2}-8^{2}=15^{2}\Leftrightarrow h=15cm$ (vì h>0)
b) Vì Stp = Sxq + Sđáy nên Stp = $136\pi +64\pi =200\pi (cm^{2})$
Thể tích của hình chóp là:
V = $\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi .8^{2}.15=320\pi (cm^{3})$
3.
a) Thể tích của xô là:
V = $\frac{1}{3}\pi h(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{1}.R_{2})$
= $\frac{1}{3}\pi .23.(14^{2}+9^{2}+14.9)\approx 9702 (cm^{3})$
Vậy dung tích của xô là $9702 (cm^{3})$
b) Diện tích tôn để làm xô chính là Sxq của nón cụt cộng với diện tích đáy nhỏ. Mà Sxq = $\pi (R_{1}+R_{2})l=23\pi l$ và diện tích đáy nhỏ là:
Sđáy = $\pi .9^{2}=81\pi (cm^{2})$
Ta cần tìm đường sinh l = AD.
Áp dụng định lý Py-ta-go cho $\Delta $AHD vuông tại H ta được:
$AD^{2}=DH^{2}+HA^{2}$ hay $l^{2}=23^{2}+5^{2}\Leftrightarrow l\approx 23,5(cm)$
Do đó Sxq = $23\pi .23,5= 540,5\pi (cm)$
Vậy diện tích tôn để làm xô là:
S = $540,5\pi +81\pi =621,5\pi (cm^{2})$