A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Nghiệm của hệ phương trình
(I) $\left\{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}(1) & & \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}(2) & & \end{matrix}\right.$ $(a_{1}^{2}+b_{1}^{2}\neq 0;a_{2}^{2}+b_{2}^{2}\neq 0$)
là cặp số (x0; y0) thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình (1) và (2).
- Số nghiệm của hệ (I) chính là số giao điểm của hai đường thẳng: a1x + b1y = c1 (d1) và a2x + b2y = c2 (d2)
- Hệ (I) có nghiệm duy nhất <=> (d1) cắt (d2).
- Hệ (I) vô nghiệm <=> (d1) // (d2).
- Hệ (I) có vô số nghiệm <=> (d1) $\equiv $ (d2)
- Cách xét sự tồn tại nghiệm và biểu diễn nghiệm:
- Thử trực tiếp cặp số đã cho vào hệ.
- Nhận xét đặc điểm riêng của từng phương trình (nếu có).
- Vẽ đường thẳng biểu diễn từng phương trình của hệ, lưu ý hệ số góc của các đường thẳng.
- Xét các tỉ số:
- Hệ có nghiệm duy nhất <=> $\frac{a_{1}}{a_{2}}\neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$
- Hệ có vô số nghiệm <=> $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
- Hệ vô nghiệm <=> $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}\neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$
Lưu ý:
- Nếu một trong hai phương trình của hệ vô nghiệm thì cả hệ vô nghiệm.
- Nghiệm của hệ là một cặp số, chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình của hệ
Ví dụ 1: Với giá trị nào của m và n thì hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}mx-y=1 & & \\ x+y=n & & \end{matrix}\right.$ nhận cặp số (-1; 0) làm nghiệm?
Hướng dẫn:
Cặp số (-1; 0) là nghiệm của hệ khi thỏa mãn đồng thời hai phương trình của hệ, ta có:
m.(-1) - 0 = 1 và -1 + 0 = n
Từ đó m = -1 và n = -1
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}2x+5y=-2 & & \\ (m-1)x-10y=4 & & \end{matrix}\right.$
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm?
Hướng dẫn:
Hệ có vô số nghiệm <=> $\frac{2}{m-1}=\frac{5}{-10}=\frac{-2}{4}$
<=> $\frac{2}{m-1}=\frac{-1}{2}$ <=> m - 1 = -4 <=> m = -3
Vậy với m = -3 thì hệ có vô số nghiệm.
B. Bài tập & Lời giải
1. Xét xem các hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?
a, $\left\{\begin{matrix}3x-2y=7 & & \\ 6x-4y=1 & & \end{matrix}\right.$ b, $\left\{\begin{matrix}5x-y=11 & & \\ -10x+2y=-22 & & \end{matrix}\right.$
c, $\left\{\begin{matrix}x+3y=1 & & \\ 2y=4 & & \end{matrix}\right.$ d, $\left\{\begin{matrix}x+2=0 & & \\ 2x-y=3 & & \end{matrix}\right.$
Xem lời giải
2. Với giá trị nào của a thì hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x+y=1 & & \\ ax+2y=0 & & \end{matrix}\right.$
a, Có nghiệm duy nhất?
b, Vô nghiệm?
c, Có vô số nghiệm?
3. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}2x-y=m & & \\ mx+\sqrt{2}y=m & & \end{matrix}\right.$
a, Tìm m để hệ vô nghiệm, vô số nghiệm.
b, Hệ có nghiệm duy nhất khi nào? Vì sao?
4. Xác định giá trị của m để hệ phương trinh sau có vô số nghiệm. Viết công thức nghiệm tổng quát của hệ với giá trị tìm được của m:
$\left\{\begin{matrix}2x+y=\frac{1}{2} & & \\ (2m+1)x-y=-\frac{1}{2} & & \end{matrix}\right.$