Giải phương trình bằng cách đánh giá

a, $\sqrt{x}+\sqrt{x+4}+\sqrt{x+9}+\sqrt{x+16}=9$

Đk: $x\geq 0$

Do $x\geq 0$ kéo theo $\sqrt{x+4}\geq 2$; $\sqrt{x+9}\geq 3$; $\sqrt{x+16}\geq 4$

=> $\sqrt{x}+\sqrt{x+4}+\sqrt{x+9}+\sqrt{x+16}\geq 0+2+3+4=9$

Dấu "=" xảy ra <=> x = 0

Vậy tập nghiệm của phương trình S ={0}

b, $\sqrt{3x^{2}+6x+12}+\sqrt{5x^{4}-10x^{2}+30}=8$

<=> $\sqrt{3(x+1)^{2}+9}+\sqrt{5(x^{2}-1)^{2}+25}=8$

Ta có $\sqrt{3(x+1)^{2}+9}\geq 3$; $\sqrt{5(x^{2}-1)^{2}+25}\geq 5$

=> $\sqrt{3(x+1)^{2}+9}+\sqrt{5(x^{2}-1)^{2}+25}\geq 3+5=8$

Dấu "=" xảy ra <=> $\left\{\begin{matrix}x+1=0 &  & \\ x^{2}-1=0 &  & \end{matrix}\right.$

<=> x = -1

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-1}

c, ĐK: x > $\frac{1}{4}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$\frac{x}{\sqrt{4x-1}}+\frac{\sqrt{4x-1}}{x}\geq 2\sqrt{\frac{x}{\sqrt{4x-1}}.\frac{\sqrt{4x-1}}{x}}=2$

Dấu "=" xảy ra <=> $\frac{x}{\sqrt{4x-1}}=\frac{\sqrt{4x-1}}{x}$

<=> $x^{2}-4x+1=0$ <=> $(x-2)^{2}=3$ <=> $x=2\pm \sqrt{3}$ (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {$2-\sqrt{3};2+\sqrt{3}$}

d, Ta có: $(\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5})^{2}\leq (1+1)(7-x+x-5)=4$

<=> $0<\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}\leq 2$

$x^{2}-12x+38=(x-6)^{2}+2\geq 2$

Suy ra hai vế của phương trình bằng 2 <=> $\left\{\begin{matrix}\sqrt{7-x}=\sqrt{x-5} &  & \\ x-6=0 &  & \end{matrix}\right.$ <=> x = 6

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {6}