Giải phương trình bằng cách nhân với biểu thức liên hợp

2. Giải các phương trình sau

a, $\sqrt{x^{2}+12}+5=3x+\sqrt{x^{2}+5}$

b, $\sqrt{3x^{2}-5x+1}-\sqrt{x^{2}-2}=\sqrt{3(x^{2}-x-1)}-\sqrt{x^{2}-3x+4}$

c, $(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2})(1+\sqrt{x^{2}+5x+6})$

d, $\frac{2x^{2}}{(3-\sqrt{9+2x})^{2}}=x+9$

Bài Làm:

a, Để phương trình có nghiệm thì: $\sqrt{x^{2}+12}-\sqrt{x^{2}+5}=3x-5+\sqrt{x^{2}+5}$ có nghiệm ó $3x-5\geq 0$ <=> $x\geq \frac{5}{3}$

$\sqrt{x^{2}+12}+5=3x+\sqrt{x^{2}+5}$ <=> $\sqrt{x^{2}+12}-4=3x-6+\sqrt{x^{2}+5}-3$

<=> $\frac{x^{2}+12-16}{\sqrt{x^{2}+12}+4}=3(x-2)+\frac{x^{2}+5-9}{\sqrt{x^{2}+5}+3}$

<=> $\frac{x^{2}-4}{\sqrt{x^{2}+12}+4}=3(x-2)+\frac{x^{2}-4}{\sqrt{x^{2}+5}+3}$

<=> $\frac{(x-2)(x+2)}{\sqrt{x^{2}+12}+4}=3(x-2)+\frac{(x-2)(x+2)}{\sqrt{x^{2}+5}+3}$

<=> (x - 2)\left (\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+5}+3}-3  \right )$

<=> x – 2 = 0 (1)  hoặc $\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+5}+3}-3 $ = 0 (2)

<=> x = 2 (thỏa mãn)

Ta có: Với $x\geq \frac{5}{3}$ thì $\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+5}+3}-3 $ < 0

Phương trình (2) vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2}

b, $\sqrt{3x^{2}-5x+1}-\sqrt{x^{2}-2}=\sqrt{3(x^{2}-x-1)}-\sqrt{x^{2}-3x+4}$

<=> $\sqrt{3x^{2}-5x+1}-\sqrt{3(x^{2}-x-1)}= \sqrt{x^{2}-2}-\sqrt{x^{2}-3x+4}$

<=> $\frac{3x^{2}-5x+1-3(x^{2}-x-1)}{\sqrt{3x^{2}-5x+1}+\sqrt{3(x^{2}-x-1)}}=\frac{x^{2}-2-(x^{2}-3x+4)}{\sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^{2}-3x+4}}$

<=> $\frac{-2x+4}{\sqrt{3x^{2}-5x+1}+\sqrt{3(x^{2}-x-1)}}=\frac{3x-6}{\sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^{2}-3x+4}}$

<=> $\frac{-2(x-2)}{\sqrt{3x^{2}-5x+1}+\sqrt{3(x^{2}-x-1)}}=\frac{3(x-2)}{\sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^{2}-3x+4}}$

<=> $(x-2).\frac{2}{\sqrt{3x^{2}-5x+1}+\sqrt{3(x^{2}-x-1)}}+\frac{3}{\sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^{2}-3x+4}}=0$

Ta có $\frac{2}{\sqrt{3x^{2}-5x+1}+\sqrt{3(x^{2}-x-1)}}+\frac{3}{\sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^{2}-3x+4}}>0$

<=>  

x – 2 = 0 <=> x = 2 (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2}

c, ĐKXĐ: $x\geq -2$

Nhân cả hai vế của phương trình với $\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$ ta được:

$[(x+3)-(x+2)](1+\sqrt{x^{2}+5x+6})= sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

<=> $1+\sqrt{(x+3)(x+2)}= sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$ <=> $(\sqrt{x+3}-1)( \sqrt{x+2}-1)=0$

 

<=> $\sqrt{x+3}-1=0$ hoặc $\sqrt{x+2}-1=0$

<=> x + 3 = 1 hoặc x + 2 = 1 <=> x = -2 hoặc x = -1

 

Kết hợp với điều kiện $x\geq -2$ => phương trình có nghiệm x = -1 hoặc x = -2

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-2; -1}

d, ĐKXĐ: $x\geq -\frac{9}{2};x\neq 0$

$\frac{2x^{2}}{(3-\sqrt{9+2x})^{2}}=x+9$

<=> $\frac{2x^{2}.(3+\sqrt{9+2x})^{2}}{(3-\sqrt{9+2x})^{2}(3+\sqrt{9+2x})^{2}}=x+9$

<=> $\frac{2x^{2}.(18+2x+6\sqrt{9+2x})}{4x^{2}}=x+9$

<=> $9+x+3\sqrt{9+2x}=x+9$

<=> $3\sqrt{9+2x}=0$ ó 9 + 2x = 0 <=> x = $\frac{-9}{2}$

Kết hợp với điều kiện $x\geq -\frac{9}{2};x\neq 0$ => x = $\frac{-9}{2}$ là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {$\frac{-9}{2}$}

Xem thêm Bài tập & Lời giải

Trong: Cách giải bài dạng: Giải phương trình chứa ẩn trong căn thức bậc hai Toán lớp 9

1. Giải các phương trình sau

a, $\sqrt{x^{2}-5x-6}=x-2$

b, $\sqrt{x-2}-3\sqrt{x^{2}-4}=0$

c, $\sqrt{x+4}-\sqrt{1-x}=\sqrt{1-2x}$

d, $\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=\sqrt{x+2}+\sqrt{2x+1}$

Xem lời giải

3. Giải các phương trình sau:

a, $\sqrt{25x^{2}}-3x-2=0$

b, $\sqrt{x^{2}-10x+25}=x+4$

c, $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2$

d, $\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+10-6\sqrt{x+1}}=2\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}$

Xem lời giải

4. Giải các phương trình sau

a, $\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}=5$

b, $2x^{2}-6x-1=\sqrt{4x+5}$

c, $3x^{2}+21x+18+2\sqrt{x^{2}+7x+7}=2$

Xem lời giải

5. Giải các phương trình sau:

a, $\sqrt{x}+\sqrt{x+4}+\sqrt{x+9}+\sqrt{x+16}=9$

b, $\sqrt{3x^{2}+6x+12}+\sqrt{5x^{4}-10x^{2}+30}=8$

c, $\frac{x}{\sqrt{4x-1}}+\frac{\sqrt{4x-1}}{x}=2$

d, $\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}=x^{2}-12x+38$

Xem lời giải

Xem thêm các bài Chuyên đề toán 9, hay khác:

Để học tốt Chuyên đề toán 9, loạt bài giải bài tập Chuyên đề toán 9 đầy đủ kiến thức, lý thuyết và bài tập được biên soạn bám sát theo nội dung sách giáo khoa Lớp 9.

Lớp 9 | Để học tốt Lớp 9 | Giải bài tập Lớp 9

Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 9, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 9 giúp bạn học tốt hơn.