Cách giải bài dạng: Giải phương trình chứa ẩn trong căn thức bậc hai Toán lớp 9

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Nâng lên lũy thừa

• Bước 1: Tìm ĐKXĐ
• Bước 2: Biến đổi bằng cách nâng lên lũy thừa
• $\sqrt{A}=B<=>A=B^{2}$
• $\sqrt{A}=\sqrt{B}<=>A=B$
• $\sqrt{A}=\sqrt{B}+\sqrt{C}<=>A=B+C+2\sqrt{B}\sqrt{C}$ <=> $2\sqrt{B}\sqrt{C}=A-B-C$ <=> 4.B.C = (A - B - C)$^{2}$
• Bước 3: Đối chiếu với điều kiện, thử lại và kết luận.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a, $\sqrt{x+2}=3x-4$

b, $\sqrt{x-3}=\sqrt{x^{2}-5x+6}$

c, $\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=5$

Hướng dẫn:

a, $\sqrt{x+2}=3x-4$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{4}{3}$

$\sqrt{x+2}=3x-4$ <=> x + 2 = (3x – 4) $^{2}$ <=> 9$^{2}$ - 25x + 4 = 0

<=> (9x – 7)(x - 2) = 0 <=> 9x – 7 = 0 hoặc x – 2 = 0 <=> x = $\frac{7}{9}$ hoặc x = 2

Kết hợp với điều kiện $x\geq \frac{4}{3}$ => phương trình có nghiệm x = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2}

b, $\sqrt{x-3}=\sqrt{x^{2}-5x+6}$

ĐKXĐ: $x\geq 3$

$\sqrt{x-3}=\sqrt{x^{2}-5x+6}$ <=> x – 3 = x$^{2}$ - 5x + 6

<=> x$^{2}$ - 6x + 9 <=> (x – 3) $^{2}$ = 0 <=> x – 3 = 0 <=> x = 3

Kết hợp với điều kiện $x\geq 3$ => x = 3 là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {3}

c, $\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=5$

ĐKXĐ: $x\geq -2$

$\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=5$ <=> $(\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7})^{2}=25$

<=> 2x + 9 + 2$\sqrt{(x+2)(x+7)}$ = 25 <=> $\sqrt{x^{2}+9x+14}$ = 8 – x

<=> $\left\{\begin{matrix}x^{2}+9x+14=(8-x)^{2} && \\ 8-x\geq 0 && \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}25x=50 && \\ x\leq 8 && \end{matrix}\right.$

<=> x = 2

Kết hợp với điều kiện $x\geq -2$ => x = 2 là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2}

2. Nhân biểu thức liên hợp

• Bước 1: Tìm ĐKXĐ.
• Bước 2: Nhẩm nghiệm (thường là nghiệm nguyên). Giả sử phương trình có nghiệm x = a
• Bước 3: Tách, thêm bớt rồi nhân liên hợp sao cho xuất hiện nhân tử chung (x – a).
• Bước 4. Chứng minh biểu thức còn lại luôn âm hoặc dương
• Bước 5. Đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình: $3\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=3x-2$

Hướng dẫn:

ĐKXĐ: $x\geq 2$

Ta nhận thấy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình, như vậy phương trình có thể phanan tích về dạng (x - 3).A(x) = 0. Ta tách và nhóm như sau:

$3\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=3x-2$ <=> $3(\sqrt{x+1}-2)+(\sqrt{x+2}+1)=3x-9$

<=> $\frac{3.(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}{\sqrt{x}+2}+\frac{(\sqrt{x-2}-1)(\sqrt{x-2}+1)}{\sqrt{x-2}+1}=3(x-3)$

<=> $3\frac{(x+1)-4}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{(x-2)-1}{\sqrt{x-2}+1}=3(x-3)$ 

<=>  $3\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}=3(x-3)$ 

<=> $(x-3).\left ( \frac{3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-3 \right )=0$

<=> x - 3 = 0 (1) hoặc $\left ( \frac{3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-3 \right )=0$ (2)

Với điều kiện $x\geq 2$ ta có $\sqrt{x}+2>2$ và $\sqrt{x-2}+1\geq 1$, kéo theo

$\left ( \frac{3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-3 \right )<\frac{3}{2}+1-3<0$

Do đó phương trình (2) vô nghiệm.

Xét phương trình (1) x - 3 = 0 <=> x = 3

Kết hợp với điều kiện $x\geq 2$ => phương trình dã cho có nghiệm x = 3.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {3}

3. Đưa về phương trình trị tuyệt đối

• Bước 1: Tìm ĐKXĐ
• Bước 2: Khử căn thức đưa phương trình về phương trình trí tuyệt đối
• Bước 3: Xét dấu giá trị tuyệt đối để giải phương trình

$\sqrt{f^{2}(x)}=g(x)$ <=> |f(x)| = g(x) <=> $\left\{\begin{matrix}f(x)=g(x)(f(x)\geq 0) &  & \\ f(x)=-g(x)(f(x)<0) &  & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 3: Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}-2x+1}=3x+2$

Hướng dẫn:

$\sqrt{x^{2}-2x+1}=3x+2$ <=> $\sqrt{(x-1)^{2}}=3x+2$ <=> |x - 1| = 3x + 2

Với $x - 1\geq 0$ <=> $x\geq 1$, ta có:

x - 1 = 3x + 2 <=> x = $\frac{-3}{2}$ (loại vì không thảo mãn $x\geq 1$)

Với x -1 < 0 <=> x < 1, ta có:

x - 1 = -3x -2 <=> x = $\frac{-1}{4}$ (thỏa mãn x < 1)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {$\frac{-1}{4}$}

4. Đặt ẩn phụ

• Bước 1: Tìm ĐKXĐ.
• Bước 2: Đặt một (hoặc nhiều) biểu thức thích hợp làm ẩn mới, (thường là các biểu thức chứa căn thức) tìm điều kiện của ẩn mới.
• Bước 3: Biến đổi phương trình theo ẩn mới (Có thể biến đổi hoàn toàn thành ẩn mới hoặc để cả 2 ẩn cũ và mới) rồi giải phương trình theo ẩn mới.
• Bước 4: Thay trả lại ẩn cũ và tìm nghiệm, đối chiếu ĐKXĐ và kết luận.

Ví dụ 4: Giải phương trình sau: $x^{2}-2x+3\sqrt{x^{2}-2x-3}=7$

Hướng dẫn:

ĐKXĐ: $x^{2}-2x-3\geq 0$

$x^{2}-2x+3\sqrt{x^{2}-2x-3}=7$ <=> $x^{2}-2x-3+3\sqrt{x^{2}-2x-3}-4=0$

Đặt t = $\sqrt{x^{2}-2x-3}$ (t $\geq 0$), phương trình trở thành:

t$^{2}$ + 3t - 4 = 0 <=> (t + 4)(t - 1) = 0 

<=> t + 4 = 0 hoặc t - 1 = 0 <=> t = - 4 (loại) hoặc t = 1 (tm)

+ Với t = 1 <=> $\sqrt{x^{2}-2x-3}$ = 1 <=> $x^{2}-2x-3=1$ 

<=> x = $1-\sqrt{5}$ hoặc x = $1+\sqrt{5}$

Kiểm tra thấy hai nghiệm đều thỏa mãn.

Vật tập nghiệm của phương trình S = {$1-\sqrt{5}$; $1+\sqrt{5}$}

5. Đánh giá biểu thức dưới dấu căn

• Bước 1: Tìm ĐKXĐ
• Bước 2: Đánh giá một vế lớn hơn hoặc bằng vế còn lại hoặc đánh giá cả hai vế.

+ Cách 1: Dùng hằng đẳng thức

Đưa 1 vế về dạng $A^{2}+B^{2}=0$

Phương trình có nghiệm <=>  A = B = 0

+ Cách 2 : Sử dụng các BĐT để đánh giá.

BĐT cô-si: Với hai số a, b $\geq 0$ thì ta có: a + b $\geq 2\sqrt{ab}$.

Dấu "=" xảy ra <=> a = b

BĐTB Bunhiakôpxki: Cho hai bộ số (a, b) và (x, y) thì ta có: $(ax+by)^{2}\leq (a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2}$

Dấu "=" xảy ra <=> $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$

.....

• Bước 3 : Xét dấu = xảy ra và đối chiếu tìm nghiệm của phương trình.

Ví dụ 5: Giải phương trình: $\sqrt{3x^{2}+6x+7}+\sqrt{5x^{2}+10x+14}=4-2x-x^{2}$  (1)

Hướng dẫn:

Ta có (1) <=> $\sqrt{3(x^{2}+2x+1+\frac{4}{3})}+\sqrt{5(x^{2}+2x+1+\frac{9}{5})}=-(x^{2}+2x+1)+5$

<=> $\sqrt{3(x+1)^{2}+4}+\sqrt{5(x+1)^{2}+9}=5-(x+1)^{2}$

Ta có Vế trái $\geq \sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$. Dấu "=" xảy ra <=> x + 1 = 0 <=> x = -1

Vế phải $\leq 5$. Dấu "=" xảy ra <=> x + 1 = 0 <=> x = -1

Suy ra hai vế của phương trình đều bằng 2 <=> x = -1 

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-1}