Câu 5: Trang 114 sách VNEN 9 tập 1
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với đường tròn (O). Lấy M trên nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba với nửa đường tròn, tiếp tuyến này cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh điểm O nằm trên đường tròn (O') đường kính CD.
b) Gọi giao điểm của CO và AM là I, giao điểm của MB và OD là K. Chứng minh MO = IK.
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (O') đường kính CD.
d) Chứng minh rằng khi M chạy trên nửa đường tròn (O) thì trung điểm của MI chạy trên đường cố định.
e) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABCD có chu vi nhỏ nhất.
Bài Làm:
a) Gọi O' là trung điểm của CD
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
CO là phân giác của $\widehat{MCA}$, DO là phân giác của $\widehat{MDB}$
Vì Ax // By nên $\widehat{MCA}$ + $\widehat{MDB}$ = $180^{\circ}$
$\Rightarrow $ $\widehat{MCO}$ + $\widehat{MDO}$ = $90^{\circ}$ $\Rightarrow $ $\widehat{COD}$ = $90^{\circ}$
Hay O nằm trên đường tròn (O') đường kính CD (đpcm).
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có CO là phân giác của $\widehat{MCA}$ và CM = CA
$\Rightarrow $ AM $\perp $ CO $\Rightarrow $ $\widehat{MIO}$ = $90^{\circ}$
Tương tự ta có BM $\perp $ DO $\Rightarrow $ $\widehat{MKO}$ = $90^{\circ}$
Tứ giác MIOK có $\widehat{MIO}$ = $\widehat{MKO}$ = $\widehat{IMK}$ = $90^{\circ}$
$\Rightarrow $ tứ giác MIOK là hình chữ nhật $\Rightarrow $ MO = IK (hai đường chéo).
c) Hình thang ACDB có O', O lần lượt là trung điểm của CD và AB
$\Rightarrow $ O'O // Ax // By hay O'O $\perp $ AB
Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn (O') đường kính CD (đpcm).