D.E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG và TÌM TÒI, MỞ RỘNG
Câu 1: Trang 86 sách VNEN 9 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Cho BH = 4cm, CH = 9cm.
i) Tính độ dài đoạn thẳng DE và số đo góc HAC (làm tròn đến độ)
ii) Tính giá trị của biểu thức P = $\frac{2sinB + 3cosC}{tanB - 3cotC}$
iii) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH. Tính diện tích tứ giác DENM
b) Chứng minh AD.AB = AE.AC.
c) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC.
d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE.
Bài Làm:
a)
i) Ta có tứ giác ADHE là hình vuông nên DE = AH
Xét tam giác vuông ABC, ta có: $AH^{2}$ = BH.CH = 4.9 = 36 $\Rightarrow $ AH = 6cm $\Rightarrow $ DE = 6cm
tanHAC = $\frac{HC}{AH}$ = $\frac{9}{6}$ = $\frac{3}{2}$ $\Rightarrow $ $\widehat{HAC}$ = $56^{\circ}$
ii) Ta có: AB = $\sqrt{AH^{2} + BH^{2}}$ = $\sqrt{6^{2} + 4^{2}}$ = 2$\sqrt{13}$ cm
AC = $\sqrt{AH^{2} + CH^{2}}$ = $\sqrt{6^{2} + 9^{2}}$ = 3$\sqrt{13}$ cm
P = $\frac{2sinB + 3cosC}{tanB - 3cotC}$ = P = $\frac{2\frac{AH}{AB} + 3\frac{CH}{AC}}{\frac{AH}{BH} - 3\frac{CH}{AH}}$ = - $\frac{5\sqrt{13}}{13}$.
iii) Ta có: $\widehat{MDH}$ + $\widehat{HDE}$ = $90^{\circ}$ (do DM $\perp $ DE)
$\widehat{MHD}$ + $\widehat{DHA}$ = $90^{\circ}$ (do AH $\perp $ BC)
Mặt khác tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên $\widehat{HDE}$ = $\widehat{DHA}$ $\Rightarrow $ $\widehat{MDH}$ = $\widehat{MHD}$ $\Rightarrow $ tam giác MDH cân tại M suy ra DM = MH
Tương tự ta được BM = DM
Suy ra DM = MH = BM hay M là trung điểm của BH
Tương tự ta chứng minh được N là trung điểm của CH.
SDENM = $\frac{DM + EN}{2}$.DE = $\frac{2 + 4,5}{2}$.6 = 19,5 $cm^{2}$.
b) Ta có: $\widehat{ADE}$ = $\widehat{AHE}$ = $\widehat{BHD}$ (cùng phụ với góc $\widehat{DHA}$ = $\widehat{BCA}$ (đồng vị)
Xét tam giác ADE và tam giác ACB có:
Góc A chung, $\widehat{ADE}$ = $\widehat{BCA}$
Suy ta tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB
$\Rightarrow $ $\frac{AD}{AC}$ = $\frac{AE}{AB}$ suy ra AD.AB = AC.AE (đpcm).
c) Ta có: $\widehat{ADE}$ + $\widehat{DAI}$ = $90^{\circ}$
$\widehat{DAI}$ + $\widehat{IAE}$ = $90^{\circ}$
$\Rightarrow $ $\widehat{IAE}$ = $\widehat{ADE}$ = $\widehat{ACB}$
$\Rightarrow $ $\Delta $IAC cân tại I $\Rightarrow $ IA = IC
Tương tự ta được IA = IB
$\Rightarrow $ IA = IB = IC hay I là trung điểm của BC.
d) SADHE = AD.AE
S$\Delta $ABC = $\frac{1}{2}$.AB.AC
Để S$\Delta $ABC = 2SADHE thì $\frac{1}{2}$.AB.AC = 2.AD.AE $\Leftrightarrow $ AB.AC = 4AD.AE
Theo câu b AD.AB = AC.AE $\Rightarrow $ AB = $\frac{AC.AE}{AD}$
$\Rightarrow $ $\frac{AC.AE}{AD}$.AC = 4AD.AE $\Rightarrow $ $AC^{2}$ = 4$AD^{2}$ $\Leftrightarrow $ AC = 2AD
Vậy AC = 2AD thì diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE..