Dạng 1: Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

I. Phương pháp giải:

Xét phương trình:

$f(a_1^x;a_2^x;...;a_n^x)=0.$                                         (1)

Trong đó, $a_1, a_2,...,a_n$ là các số dương, khác 1. Giả sử $a_1, a_2,...,a_n$ cùng là luỹ thừa với số mũ nguyên của a(0<a#1), tức là $a_1=a^{k_1}, ..., a_n=a^{k_n}$. Khi đó, đặt $t=a^x; (t>0)$, phương trình (1) trở thành:

$f(t^{k_1}; t^{k_2};...;t^{k_n})=0.$                                     (2)

Ta có:

• Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm dương.
• Nếu $t_0$ là một nghiệm dương của (2) thì nghiệm tương ứng của (1) là $x_0$ thoả mãn $t_0=a^{x_0}$ hay $x_0=\log_a(t_0).$

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình $4^x-8.2^x+4=0.$

Bài giải: Đặt $t=2^x; (t>0)$ phương trình đã cho trở thành

                                 $t^2-8t+4=0.$                      (1)

Giải phương trình (1) ta có hai nghiệm $t_1=4+2\sqrt{3}$ và $t_2=4-2\sqrt{3}$. 

Khi đó

$\left[\begin{array}{l}2^x=t_1 \\2^x=t_2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x_1=\log_2 t_1 \\x_2=\log_2 t_2\end{array}\right.$
Vậy $T= x_1 + x_2=\log_2 t_1 + \log_2 t_2 = \log_2 (t_1.t_2)=\log_2 4=2.$ 

Bài tập 2: Tìm giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $9^x-2.3^{x+1}+m=0$ có hai nghiệm thực $x_1; x_2$ thoả mãn $x_1+x_2=1.$ 

Bài giải: Đặt $t=3^x$ (t>0), phương trình đang xét trở thành:

                                 $t^2-6t+m=0.$                   (1)

Mỗi nghiệm x của phương trình ban đầu ứng với một nghiệm $t>0$ của phương trình (1).

Giả sử $t_1=3^{x_1}$ và $t_2=3^{x_2.}$

Khi đó $t_1.t_2= 3^{x_1}. 3^{x_2}=3^{x_1+x_2}=3^1=3$. Theo định lý Vi-et, $t_1.t_2=m$. Do đó $m=3.$

Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $(3+2\sqrt{2})^x+(3-2\sqrt{2})^x=m$ có nghiệm.

Bài giải: Ta có $(3+2\sqrt{2})^x . (3-2\sqrt{2})^x=[(3+2\sqrt{2}) . (3-2\sqrt{2})]^x = 1.$

Do đó, nếu đặt $(3+2\sqrt{2})^x =t$ thì $(3-2\sqrt{2})^x=\frac{1}{t}$. Khi đó phương trình trở thành

$t+\frac{1}{t}=m \Leftrightarrow t^2-mt+1=0.$

Phương trình x có nghiệm khi và chỉ khi phương trình t có nghiệm dương.

Áp dụng Vi-et ta thấy $t_1.t_2=1$ nên nếu một nghiệm dương thì cả hai nghiệm đều dương.

Khi đó điều kiện để phương trình t có nghiệm dương là:

$\left\{\begin{matrix}\Delta \geq 0\\ t_1+t_2>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow  \left\{\begin{matrix}m^2-4\geq 0\\ m>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\geq 2.$

Vậy $m\geq 2$.