Bài tập về tính diện tích xung quanh - Diện tích toàn phần, thể tích hình trụ hoặc các yếu tố liên quan

1. Gọi AB = x, AD = y (x > y) thì ta có:

$\left\{\begin{matrix}x+y=4a\\ xy=3a^{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=4a-y\\ y^{2}-4ay+3a^{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=4a-y\\ (y-a)(y-3a)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=4a-y\\ y=a\end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}x=4a-y\\ y=3a\end{matrix}\right.$

Mà x > y nên x = 3a và y = a

Khi quay hình chữ nhật quanh cạnh AB ta được hình trụ có bán kính đáy R = a và chiều cao h = 3a.

Vậy S_xq = $2\pi a.3a=6\pi a^{2}$ (đvdt)

    V = $\pi a^{2}.3a=3\pi a^{3}$ (đvtt)

    S_tp = S_xq + 2S_đáy = $6\pi a^{2}+2\pi a^{2}=8\pi a^{2}$ (đvtt)

2. Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x (cm) (x > 0) thì chiều dài của hình chữ nhật là 4x.

Lúc đó diện tích của hình chữ nhật là $4x^{2}=28\Leftrightarrow x=\sqrt{7}$ (vì x > 0)

Khi quay hình chữ nhật quanh chiều dài một vòng ta được một hình trụ có chiều cao là h = $4\sqrt{7}$cm, bán kình đáy là $\sqrt{7}$cm

Vậy Sxq = $2\pi .\sqrt{7}.4\sqrt{7}=56\pi (cm^{2})$

    V = $\pi (\sqrt{7})^{2}.4\sqrt{7}=28\pi \sqrt{7}(cm^{3})$

3. Vì hình trụ có S_tp = 2S_xq hay 2S_xq = S_xq + 2S_đáy nên S_xq = 2S_đáy

Do đó ta có:

$2\pi R.h=2\pi R^{2}$

$\Leftrightarrow R=h$

Mà R = 4cm nên h = 4cm

4. Vì S_tp = S_xq + 2S_đáy nên $28\pi =20\pi +2\pi R^{2}$

$\Leftrightarrow R^{2}=2^{2}$

$\Leftrightarrow R=2$

Mặt khác S_xq = $2\pi .2.h=20\pi \Leftrightarrow h=5$ (cm)

Vậy V = $\pi .2^{2}.5 = 20\pi (cm^{3})$