Bài tập về chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn

1. 

Đặt HK = KD = x. Khi đó DI = 2x; KC = 3x. 

Ta thấy bốn điểm E, D, F, C cùng nằm trên đường tròn (O) nên KE.KF = KD.KC (1)

Mặt khác KD.KC = x.3x = 3x$^{2}$

         KH.KI = x.3x = 3x$^{2}$

$\Rightarrow $ KD.KC = KH.KI (2).

Từ (1) và (2) suy ra KE.KF = KH.KI

Do đó bốn điểm E, H, F, I cùng nằm trên một đường tròn (đpcm)

2. 

a) Do bốn điểm B, D, C, E cùng nằm trên đường tròn (O) nên ID.IE = IB.IC = IB$^{2}$ (1)

Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta $ABO vuông với BI là đường cao, ta có:

IB$^{2}$ = IA.IO (2)

Từ (1) và (2) ta được : ID.IE = IA.IO 

Chứng tỏ bốn điểm A, D, O, E cùng nằm trên một đường tròn.

b) Từ câu a) ta thấy $\widehat{ODE}=\widehat{OAE}$ (cùng chắn cung OE), $\widehat{OED}=\widehat{OAD}$ (cùng chắn cung OD)

Mà $\Delta $ODE cân tại O nên $\widehat{ODE}=\widehat{OED}$

Do đó $\widehat{OAE}=\widehat{OAD}$ (3)

Chú ý rằng AO là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên từ (3) suy ra $\widehat{BAE}=\widehat{CAD}$ (4)

Từ (4) dễ dàng suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$ (đpcm)

3. 

Không mất tính tổng quát, giả sử $\widehat{ACD}>\widehat{ACB}$.

Qua C kẻ tia Cx sao cho $\widehat{xCD}=\widehat{ACB}$.

Gọi E là giao điểm của Cx với BD.

Ta thấy $\Delta ABC \sim \Delta DEC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AB}{ED}=\frac{AC}{CD}$ hay AB.CD = AC.ED (1)

Mặt khác $\Delta ACD \sim \Delta BCE$ (vì $\widehat{BCE}=\widehat{ACD}; \widehat{CAD}=\widehat{CBE}$)

$\Rightarrow \frac{AD}{EB}=\frac{AC}{BC}$ hay BC.AD = AC.EB (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB.CD + BC.AD = AC(EB+ED) = AC.BD (đpcm)