Câu 71 : Trang 103 sgk toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi MD là đường vuông góc kẻ từ M đến AB, ME là đường vuông góc kẻ từ M đến AC, O là trung điểm của DE.
a) Chứng mình rằng ba điểm A, O, M thằng hàng.
b) Khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì điểm O di chuyển trên đường nào ?
c) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì AM có độ dài nhỏ nhất ?
Bài Làm:
Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:
a) DO MD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC => $\widehat D = \widehat E = {90^0}$
Xét tứ giác ADME có \(\widehat A = \widehat D = \widehat E = {90^0}\)
=> ADME là hình chữ nhật
Mà O là trung điểm của DE
=>O là trung điểm của đường chéo AM.
Vậy A, O, M thẳng hàng
b)Kẻ AH ⊥ BC, kẻ OK ⊥ BC. =>OK // AH (cùng vuông góc BC).
Mặt khác ta có: OA = OM (cmt)
=>OK là đường trung bình của tam giác AMH
=> \(OK = {1 \over 2}AH\)
Vậy điểm O cách đoạn BC cố định một khoảng không đổi bằng \({1 \over 2}AH\). Mặt khác khi M trùng C thì O chính là trung điểm của AC, khi M trùng B thì O chính là trung điểm của AB. Vậy O di chuyển trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của tam giác ABC.
c) Xét tam giác vuông AMH, có AM lớn hơn hoặc bằng AH
Vậy AM nhỏ nhất khi M trùng với H.
