Bài tập & Lời giải
MỞ ĐẦU
Guồng nước (hay còn gọi là cọn nước) không chỉ là công cụ phục vụ sản xuất nông nghiệp, mà đã trở thành hình ảnh quen thuộc của bản làng và là một nét văn hóa đặc trưng của đồng bào dân tộc miền núi phía Bắc.
Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m. Khi guồng quay đều, khoảng cách h (m) từ một ống đựng nước gắn tại một điểm của guồng đến mặt nước được tính theo công thức h= $\left | y \right |$, trong đó $y=2,5sin(2\pi x-\frac{\pi }{2})+2$, với x (phút) là thời gian quay của guồng $(x\geq 0)$.
Câu hỏi: Khoảng cách h phụ thuộc vào thời gian quay x như thế nào?
Xem lời giải
I. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN
1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Luyện tập, vận dụng 1:
a) Chứng tỏ rằng hàm số $g(x)= x^{3}$ là hàm số lẻ.
b) Cho ví dụ về hàm số không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ.
Xem lời giải
II. HÀM SỐ $y=sinx$
3. Tính chất của hàm số y=sinx
Luyện tập, vận dụng 3: Hàm số $y=sinx$ đồng biến hay nghịch biến trên khoảng $(-\frac{7\pi }{2}; -\frac{5\pi }{2})$?
Xem lời giải
III. HÀM SỐ $y=cosx$
3. Tính chất của hàm số y=cosx
Luyện tập, vận dụng 4: Hàm số $y=cosx$ đồng biến hay nghịch biến trên khoảng $(-2\pi ;-\pi )$?
Xem lời giải
IV. HÀM SỐ $y=tanx$
3. Tính chất của hàm số y = tanx
Luyện tập, vận dụng 5: Với mỗi số thực m, tìm số giao điểm của đường thẳng $y = m $ và đồ thị hàm số $y=tanx$ trên khoảng $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$.
Xem lời giải
V. HÀM SỐ $y=cotx$
3. Tính chất của hàm số y = cotx
Luyện tập, vận dụng 6: Với mỗi số thực m, tìm số giao điểm của đường thẳng $y=m$ và đồ thị hàm số $y=cotx$ trên khoảng $(0,\pi )$.
Xem lời giải
Bài tập 1 trang 31 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của $x$ trên đoạn $\left [ -2\pi ;2\pi \right ]$ để:
a) Hàm số $y = sinx$ nhận giá trị bằng 1;
b) Hàm số $y = sinx$ nhận giá trị bằng 0;
c) Hàm số $y = cosx$ nhận giá trị bằng -1;
d) Hàm số $y = cosx$ nhận giá trị bằng 0.
Xem lời giải
Bài tập 2 trang 31 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của $x$ trên khoảng $\left ( -\pi ;\frac{3\pi }{2} \right )$ để:
a) Hàm số $y = tanx$ nhận giá trị bằng -1;
b) Hàm số $y = tanx$ nhận giá trị bằng 0;
c) Hàm số $y = cotx$ nhận giá trị bằng 1;
d) Hàm số $y = cotx$ nhận giá trị bằng 0.
Xem lời giải
Bài tập 3 trang 31 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Xét sự biến thiên của mỗi hàm số sau trên các khoảng tương ứng:
a) $y = sinx$ trên khoảng $(-\frac{9\pi }{2};-\frac{7\pi }{2}), (\frac{21\pi }{2};\frac{23\pi }{2})$;
b) $y = cosx$ trên khoảng $(-20\pi ;-19\pi ),(-9\pi ;-8\pi )$.
Xem lời giải
Bài tập 4 trang 31 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Dùng đồ thị hàm số, hãy cho biết:
a) Với mỗi $m\in \left [ -1;1 \right ]$, có bao nhiêu giá trị $\alpha \in \left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$ sao cho $sin\alpha =m$;
b) Với mỗi $m\in \left [ -1;1 \right ]$, có bao nhiêu giá trị $\alpha \in \left [ 0,\pi \right ]$ sao cho $cos\alpha =m$;
c) Với mỗi $m\in \mathbb{R}$, có bao nhiêu giá trị $\alpha \in \left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$ sao cho $tan\alpha =m$;
d) Với mỗi $m\in \mathbb{R}$, có bao nhiêu giá trị $\alpha \in \left [ 0,\pi \right ]$ sao cho $cot\alpha =m$.
Xem lời giải
Bài tập 5 trang 31 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:
a) $y=sinxcosx$;
b) $y=tanx+cotx$;
c) $y=sin^{2}x$.
Xem lời giải
Bài tập 6 trang 31 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều:
Một dao động điều hòa có phương trình li độ dao động là: $x=Acos(\omega t+\varphi )$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây, $A$ là biên độ dao động và $x$ là li độ dao động đều được tính bằng centimét. Khi đó, chu kì $T$ của dao động là $T=\frac{2\pi }{\omega }$. Xác định giá trị của li độ khi $t=0, t=\frac{T}{4}, t=\frac{T}{2},t=\frac{3T}{4}, t=T$ và vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa trên đoạn $\left [ 0;2T \right ]$ trong trường hợp:
a) $A=3 cm, \varphi=0$;
b) $A=3 cm, \varphi=-\frac{\pi }{2}$;
c) $A=3 cm, \varphi=\frac{\pi }{2}$.
Xem lời giải
Bài tập 7 trang 31 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Trong bài toán mở đầu, hãy chỉ ra một số giá trị của $x$ để ống đựng nước cách mặt nước 2m.
Xem lời giải
Hoạt động 1 trang 22 Toán 11 tập 1 CD:
a) Cho hàm số f(x) = x$^{2}$.
• Với x ∈ ℝ, hãy so sánh f(‒x) và f(x).
• Quan sát parabol (P) là đồ thị của hàm số f(x) = x$^{2}$ (Hình 19) và cho biết trục đối xứng của (P) là đường thẳng nào.
b) Cho hàm số g(x) = x.
• Với x ∈ ℝ, hãy so sánh g(‒x) và ‒g(x).
• Quan sát đường thẳng d là đồ thị của hàm số g(x) = x (Hình 20) và cho biết gốc toạ độ O có là tâm đối xứng của đường thẳng d hay không.
Xem lời giải
Hoạt động 2 trang 23 Toán 11 tập 1 CD: Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ và có đồ thị như Hình 21.
a) Có nhận xét gì về đồ thị hàm số trên mỗi đoạn [a ; a + T], [a + T; a + 2T], [a – T; a]?
b) Lấy điểm M(x$_{0}$; f(x$_{0}$)) thuộc đồ thị hàm số với x$_{0}$ ∈ [a; a + T]. So sánh mỗi giá trị f(x$_{0}$ + T), f(x$_{0}$ − T) với f(x$_{0}$).
Xem lời giải
Hoạt động 3 trang 24 Toán 11 tập 1 CD: Với mỗi số thực x, tồn tại duy nhất điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = x (rad) (Hình 22). Hãy xác định sinx.
Xem lời giải
Hoạt động 4 trang 24 Toán 11 tập 1 CD: Cho hàm số y = sinx.
a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:
| x | -π | $-\frac{5π}{6}$ | -$\frac{π}{2}$ | $-\frac{π}{6}$ | 0 | $\frac{π}{6}$ | $\frac{π}{2}$ | $\frac{5π}{6}$ | π |
| y = sinx | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x ; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; sinx) với x ∈ [‒π; π] và nối lại ta được đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒π; π] (Hình 23).
c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn [‒3π; ‒π], [π; 3π], …, ta có đồ thị hàm số y = sin x trên ℝ được biểu diễn ở Hình 24.
Xem lời giải
Hoạt động 5 trang 25 Toán 11 tập 1 CD: Quan sát đồ thị hàm số y = sinx ở Hình 24.
a) Nêu tập giá trị của hàm số y = sinx.
b) Gốc toạ độ có là tâm đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số y = sinx.
c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒π; π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta có nhận được đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [π; 3π] hay không? Hàm số y = sinx có tuần hoàn hay không?
d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = sinx.
Xem lời giải
Hoạt động 6 trang 26 Toán 11 tập 1 CD: Với mỗi số thực x, tồn tại duy nhất điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = x (rad) (Hình 25). Hãy xác định cosx.
Xem lời giải
Hoạt động 7 trang 26 Toán 11 tập 1 CD: Cho hàm số y = cosx.
a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:
| x | -π | $-\frac{2π}{3}$ | -$\frac{π}{2}$ | $-\frac{π}{3}$ | 0 | $\frac{π}{3}$ | $\frac{π}{2}$ | $\frac{2π}{3}$ | π |
| y = cosx | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x ; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x ; cosx) với x ∈ [‒π; π] và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [‒π; π] (Hình 26).
c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn [‒3π; ‒π], [π; 3π], ta có đồ thị hàm số y = cosx trên ℝ được biểu diễn ở Hình 27.
Xem lời giải
Hoạt động 8 trang 27 Toán 11 tập 1 CD: Quan sát đồ thị hàm số y = cosx ở Hình 27.
a) Nêu tập giá trị của hàm số y = cosx.
b) Trục tung có là trục đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số y = cosx.
c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [‒π; π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta nhận được đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [π; 3π] hay không? Hàm số y = cosx có tuần hoàn hay không?
d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = cosx.
Xem lời giải
Hoạt động 9 trang 27 Toán 11 tập 1 CD: Xét tập hợp D = R\{$\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in Z$}. Với mỗi số thực x ∈ D, hãy nêu định nghĩa tanx.
Xem lời giải
Hoạt động 10 trang 28 Toán 11 tập 1 CD: Cho hàm số y = tanx.
a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:
| x | $-\frac{π}{3}$ | $-\frac{π}{4}$ | 0 | $\frac{π}{4}$ | $\frac{π}{3}$ |
| y = tanx | ? | ? | ? | ? | ? |
b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; tanx) với $x\in (-\frac{π}{2};\frac{π}{2})$ và nối lại ta được đồ thị hàm số y = tan x trên khoảng $x\in (-\frac{π}{2};\frac{π}{2})$ (Hình 28).
c) Làm tương tự như trên đối với các khoảng $(\frac{π}{2};\frac{3π}{2}),(-\frac{3π}{2};-\frac{π}{2}),...$ ta có đồ thị hàm số y = tan x trên D được biểu diễn ở Hình 29.
Xem lời giải
Hoạt động 11 trang 28 Toán 11 tập 1 CD: Quan sát đồ thị hàm số y = tanx ở Hình 29.
a) Nêu tập giá trị của hàm số y = tanx.
b) Gốc toạ độ có là tâm đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số y = tanx.
c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng $(-\frac{π}{2};\frac{π}{2})$ song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta nhận được đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng $(\frac{π}{2};\frac{3π}{2})$ hay không? Hàm số y = tanx có tuần hoàn hay không?
d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = tanx.
Xem lời giải
Hoạt động 12 trang 29 Toán 11 tập 1 CD: Xét tập hợp E = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}. Với mỗi số thực x ∈ E, hãy nêu định nghĩa cotx.
Xem lời giải
Hoạt động 13 trang 29 Toán 11 tập 1 CD: Cho hàm số y = cotx.
a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:
| x | $\frac{π}{6}$ | $\frac{π}{4}$ | $\frac{π}{2}$ | $\frac{3π}{4}$ | $\frac{5π}{6}$ |
| y = cotx | ? | ? | ? | ? | ? |
b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; cotx) với x ∈ (0; π) và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π) (Hình 30).
c) Làm tương tự như trên đối với các khoảng (π; 2π), (‒π; 0), (‒2π; ‒π), …, ta có đồ thị hàm số y = cotx trên E được biểu diễn ở Hình 31.
Xem lời giải
Hoạt động 14 trang 30 Toán 11 tập 1 CD: Quan sát đồ thị hàm số y = cotx ở Hình 31.
a) Nêu tập giá trị của hàm số y = cotx.
b) Gốc toạ độ có là tâm đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số y = cotx.
c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π) song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta nhận được đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (π; 2π) hay không? Hàm số y = cotx có tuần hoàn hay không?
d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = cotx.