Bài tập & Lời giải
MỞ ĐẦU
Cầu Sông Hàn là một trong những cây cầu bắc qua sông Hàn ở Đà Nẵng. Đây là cây cầu quay đầu tiên do kĩ sư, công nhân Việt Nam tự thiết kế và thi công. Khi cầu không quay (Hình 10a), mặt cầu liền mạch nên các phương tiện có thể đi lại giữa hai đầu cầu. Khi cầu quay (Hình 10b) để các tàu, thuyền có thể đi qua thì mặt cầu không còn liền mạch nữa, các phương tiện không thể đi qua giữa hai đầu cầu.
Câu hỏi: Kiến thức gì trong toán học thể hiện chuyển động có đường đi là đường liền mạch?
Xem lời giải
I. KHÁI NIỆM
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Luyện tập, vận dụng 1: Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=x^{3}+1$ tại $x_{0}=1$.
Xem lời giải
2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn
Luyện tập, vận dụng 2: Hàm số
$f(x)=\begin{cases}x-1&(x< 2)\\ -x&(x\geq 2)\end{cases}$
có liên tục trên $\mathbb{R}$ hay không?
Xem lời giải
II. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN
1. Tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản
Luyện tập, vận dụng 3: Hàm số $f(x)=\frac{x+2}{x-8}$ có liên tục trên mỗi khoảng $(-\infty;8)$, $(8;+\infty)$ hay không?
Xem lời giải
2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục
Luyện tập, vận dụng 4: Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\sin x +\cos x $ trên $\mathbb{R}$.
Xem lời giải
Bài tập 1 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số $f(x)=2x^{3}+x+1$ tại điểm $x=2$.
Xem lời giải
Bài tập 2 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Trong các hàm số có đồ thị ở Hình 15a, 15b, 15c, hàm số nào liên tục trên tập xác định của hàm số đó? Giải thích.
Xem lời giải
Bài tập 3 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Bạn Nam cho rằng: "Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục tại điểm $x_{0}$, còn hàm số $y=g(x)$ không liên tục tại $x_{0}$, thì hàm số $y=f(x)+g(x)$ không liên tục tại $x_{0}$". Theo em, ý kiến của bạn Nam đúng hay sai? Giải thích.
Xem lời giải
Bài tập 4 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:
a) $f(x)=x^{2}+\sin x$;
b) $g(x)=x^{4}-x^{2}+\frac{6}{x-1}$;
c) $h(x)=\frac{2x}{x-3}+\frac{x-1}{x+4}$.
Xem lời giải
Bài tập 5 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Cho hàm số
$f(x)=\begin{cases}x^{2}+x+1& (x\neq 4)\\2a+1& (x=4)\end{cases}$.
a) Với $a=0$, xét tính liên tục của hàm số tại $x=4$.
b) Với giá trị nào của $a$ thì hàm số liên tục tại $x=4$?
c) Với giá trị nào của $a$ thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó?
Xem lời giải
Bài tập 6 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Hình 16 biểu thị độ cao $h$ (m) của một quả bóng được đá lên theo thời gian $t$ (s), trong đó $h(t)=-2t^{2}+8t$.
a) Chứng tỏ hàm số $h(t)$ liên tục trên tập xác định.
b) Dựa vào đồ thị hãy xác định $\lim_{t\rightarrow 2}(-2t^{2}+8t) $.
Xem lời giải
Hoạt động 1 trang 73 sgk Toán 11 tập 1 CD: Quan sát đồ thị hàm số f(x) = x ở Hình 11.
a) Tính $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)$
b) So sánh $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)$ và f(1)
Xem lời giải
Hoạt động 2 trang 74 sgk Toán 11 tập 1 CD: Cho hàm số f(x) = x + 1 với x ∈ ℝ.
a) Giả sử x$_{0}$ ∈ ℝ. Hàm= số f(x) có liên tục tại điểm x$_{0}$ hay không?
b) Quan sát đồ thị hàm số f(x) = x + 1 với x ∈ ℝ (Hình 13), nêu nhận xét về đặc điểm của đồ thị hàm số đó.
Xem lời giải
Hoạt động 3 trang 75 sgk Toán 11 tập 1 CD: Quan sát đồ thị các hàm số: y = x$^{2}$ – 4x + 3 (Hình 14a); y = $\frac{x+1}{x-1}(x\neq 1)$ (Hình 14b); y = tanx (Hình 14c) và nêu nhận xét về tính liên tục của mỗi hàm số đó trên từng khoảng của tập xác định.
Xem lời giải
Hoạt động 4 trang 76 sgk Toán 11 tập 1 CD: Cho hai hàm số f(x)= x$^{3}$ + x và g(x) = x$^{2}$ + 1 (x ∈ ℝ). Hãy cho biết:
a) Hai hàm số f(x), g(x) có liên tục tại x = 2 hay không.
b) Các hàm số f(x) + g(x); f(x) – g(x); f(x).g(x); $\frac{f(x)}{g(x)}$ có liên tục tại x = 2 hay không