Bài tập 5 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Cho hàm số
$f(x)=\begin{cases}x^{2}+x+1& (x\neq 4)\\2a+1& (x=4)\end{cases}$.
a) Với $a=0$, xét tính liên tục của hàm số tại $x=4$.
b) Với giá trị nào của $a$ thì hàm số liên tục tại $x=4$?
c) Với giá trị nào của $a$ thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó?
Bài Làm:
a) Ta có: a=0 thì $f(x)=\begin{cases}x^{2}+x+1& (x\neq 4)\\1& (x=4)\end{cases}$
Có: $f(4)=1$
$\lim_{x\rightarrow 4} f(x)=4^{2}+4+1=21$
Do đó: $\lim_{x\rightarrow 4} f(x)\neq f(4)$
Vậy hàm số không liên tục tại $x=4$.
b) Ta có: $f(4)=2a+1$
$\lim_{x\rightarrow 4} f(x)=4^{2}+4+1=21$
Để hàm số liên tục tại $x=4$ thì: $2a+1=21\Leftrightarrow a=10$.
Vậy $a=10$ thì hàm số liên tục tại $x=4$.
c) TXĐ: $\mathbb{R}$
Do $f(x)=x^{2}+x+1$ nếu $x\neq 4$ nên hàm số liên tục trên mỗi khoảng $(-\infty,4)$ và $(4,+\infty)$.
Nếu $a=10$ thì hàm số liên tại điểm $x=4$.
Do đó khi $a=10$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
