2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn
Luyện tập, vận dụng 2: Hàm số
$f(x)=\begin{cases}x-1&(x< 2)\\ -x&(x\geq 2)\end{cases}$
có liên tục trên $\mathbb{R}$ hay không?
Bài Làm:
Ta có: $\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{-}}(x-1)=1$
$\lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}(-x)=-2$
$f(2)=-2$
Do đó: $\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)\neq \lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)=f(2)$
Vậy hàm số đã cho không liên tục trên $\mathbb{R}$.
Trong: Giải toán 11 Cánh diều bài 3 Hàm số liên tục
Cầu Sông Hàn là một trong những cây cầu bắc qua sông Hàn ở Đà Nẵng. Đây là cây cầu quay đầu tiên do kĩ sư, công nhân Việt Nam tự thiết kế và thi công. Khi cầu không quay (Hình 10a), mặt cầu liền mạch nên các phương tiện có thể đi lại giữa hai đầu cầu. Khi cầu quay (Hình 10b) để các tàu, thuyền có thể đi qua thì mặt cầu không còn liền mạch nữa, các phương tiện không thể đi qua giữa hai đầu cầu.
Câu hỏi: Kiến thức gì trong toán học thể hiện chuyển động có đường đi là đường liền mạch?
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Luyện tập, vận dụng 1: Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=x^{3}+1$ tại $x_{0}=1$.
1. Tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản
Luyện tập, vận dụng 3: Hàm số $f(x)=\frac{x+2}{x-8}$ có liên tục trên mỗi khoảng $(-\infty;8)$, $(8;+\infty)$ hay không?
2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục
Luyện tập, vận dụng 4: Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\sin x +\cos x $ trên $\mathbb{R}$.
Bài tập 1 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số $f(x)=2x^{3}+x+1$ tại điểm $x=2$.
Bài tập 2 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Trong các hàm số có đồ thị ở Hình 15a, 15b, 15c, hàm số nào liên tục trên tập xác định của hàm số đó? Giải thích.
Bài tập 3 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Bạn Nam cho rằng: "Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục tại điểm $x_{0}$, còn hàm số $y=g(x)$ không liên tục tại $x_{0}$, thì hàm số $y=f(x)+g(x)$ không liên tục tại $x_{0}$". Theo em, ý kiến của bạn Nam đúng hay sai? Giải thích.
Bài tập 4 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:
a) $f(x)=x^{2}+\sin x$;
b) $g(x)=x^{4}-x^{2}+\frac{6}{x-1}$;
c) $h(x)=\frac{2x}{x-3}+\frac{x-1}{x+4}$.
Bài tập 5 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Cho hàm số
$f(x)=\begin{cases}x^{2}+x+1& (x\neq 4)\\2a+1& (x=4)\end{cases}$.
a) Với $a=0$, xét tính liên tục của hàm số tại $x=4$.
b) Với giá trị nào của $a$ thì hàm số liên tục tại $x=4$?
c) Với giá trị nào của $a$ thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó?
Bài tập 6 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Hình 16 biểu thị độ cao $h$ (m) của một quả bóng được đá lên theo thời gian $t$ (s), trong đó $h(t)=-2t^{2}+8t$.
a) Chứng tỏ hàm số $h(t)$ liên tục trên tập xác định.
b) Dựa vào đồ thị hãy xác định $\lim_{t\rightarrow 2}(-2t^{2}+8t) $.
Hoạt động 1 trang 73 sgk Toán 11 tập 1 CD: Quan sát đồ thị hàm số f(x) = x ở Hình 11.
a) Tính $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)$
b) So sánh $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)$ và f(1)
Hoạt động 2 trang 74 sgk Toán 11 tập 1 CD: Cho hàm số f(x) = x + 1 với x ∈ ℝ.
a) Giả sử x$_{0}$ ∈ ℝ. Hàm= số f(x) có liên tục tại điểm x$_{0}$ hay không?
b) Quan sát đồ thị hàm số f(x) = x + 1 với x ∈ ℝ (Hình 13), nêu nhận xét về đặc điểm của đồ thị hàm số đó.
Hoạt động 3 trang 75 sgk Toán 11 tập 1 CD: Quan sát đồ thị các hàm số: y = x$^{2}$ – 4x + 3 (Hình 14a); y = $\frac{x+1}{x-1}(x\neq 1)$ (Hình 14b); y = tanx (Hình 14c) và nêu nhận xét về tính liên tục của mỗi hàm số đó trên từng khoảng của tập xác định.
Hoạt động 4 trang 76 sgk Toán 11 tập 1 CD: Cho hai hàm số f(x)= x$^{3}$ + x và g(x) = x$^{2}$ + 1 (x ∈ ℝ). Hãy cho biết:
a) Hai hàm số f(x), g(x) có liên tục tại x = 2 hay không.
b) Các hàm số f(x) + g(x); f(x) – g(x); f(x).g(x); $\frac{f(x)}{g(x)}$ có liên tục tại x = 2 hay không
Xem thêm các bài Giải toán 11 tập 1 cánh diều được biên soạn cho Học kì 1 & Học kì 2 theo mẫu chuẩn của Bộ Giáo dục theo sát chương trình Lớp 11 giúp bạn học tốt hơn.
Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 11, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 11 giúp bạn học tốt hơn.