1. ĐỊNH NGHĨA
HĐ1
Ta thấy trong dãy số: -2, 3, 8, 13, 18, 23, 28. Kể từ số hạng thứ hai trở đi số hạng sau hơn số hạng trước năm đơn vị.
Khái niệm: Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là: $u_{n}=u_{n-1}+d$ với n ≥ 2.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Câu hỏi:
Dãy số trong phần HĐ1 là một cấp số cộng với công sai d = 5.
Lưu ý
Nếu (u$_{n}$) là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên n ≥ 2, ta có: $u_{n}-u_{n-1}=d$
Chú ý: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.
Ví dụ 1: (SGK – tr.49).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.49).
Luyện tập 1
Công sai của cấp số cộng đã cho là:
d = u$_{2}$ - u$_{1}$ = -2 - (-7) = 5
Áp dụng công thức: $u_{n}=u_{n-1}+d$
=> Năm số hạng đầu của cấp số cộng: -7; -2; 3; 8; 13.
Ví dụ 2: (SGK – tr.49).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.50).
Luyện tập 2
Ta có: $u_{n+1}=-5(n+1)+7=-5n-5+7$
Xét hiệu: $u_{n+1}-u_{n}=-5(n+1)+7=-5n-5+7-(-5n+7)=-5$
Do đó (u$_{n}$) là một cấp số cộng.
2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
HĐ2
a) Năm số hạng đầu của cấp số cộng theo u$_{1}$ và d là:
u$_{1}$; u$_{2}$ = u$_{1}$ + d;
u$_{3}$ = u$_{2}$ + d= u$_{1}$ + d + d = u$_{1}$ + 2d
u$_{4}$ = u$_{3}$ + d = u$_{1}$ + 2d + d= u$_{1}$ + 3d
u$_{5}$ = u$_{4}$ + d = u$_{1}$ + 3d + d = u$_{1}$ + 4d
b) Dự đoán công thức tính u$_{n}$: $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$
Công thức số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng (u$_{n}$) có số hạng đầu u$_{1}$ và công sai d thì số hạng tổng quát u$_{n}$ được xác định bởi công thức:
$u_{n}=u_{1}+(n-1)d$ với n ≥ 2.
Nhận xét: Với d ≠ 0, từ công thức $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$
Ta có: $n=\frac{u_{n}-u_{1}}{d}+1$ với n ≥ 2.
Ví dụ 3: (SGK – tr.50).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.50).
Luyện tập 3
Độ cao các thửa ruộng so với mực nước biển tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu:
u$_{1}$ = 1250 m và công sai d = 1,2 m.
Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là:
$u_{n}=u_{1}+(n-1)d$ = 1250 + (n - 1).1,2
Vậy độ cao của thửa ruộng thứ 10 so với mực nước biển là:
u$_{10}$ = 1250 + (10 - 1).1,2 = 1260,8 m.
3. TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG
HĐ3
a) Ta có: u$_{1}$ + u$_{n}$ = u$_{1}$ + u$_{1}$ + (n - 1)d = 2u$_{1}$ + (n - 1)d
u$_{2}$ + u$_{n-1}$ = u$_{1}$ + d + u$_{1}$ + (n - 1 - 1)d = 2u$_{1}$ + (n - 1 - 1)d
u$_{3}$ + u$_{n-2}$ = u$_{1}$ + 2d + u$_{1}$ + (n - 2 - 1)d = 2u$_{1}$ + (n - 2 - 1)d
….
u$_{n}$ + u$_{1}$ = u$_{1}$ + (n - 1)d + u$_{1}$ = 2u$_{1}$ + (n - 1)d
Ta thấy: u$_{1}$ + u$_{n}$ = u$_{2}$ + u$_{n-1}$ = u$_{3}$ + u$_{n-2}$ = ... = u$_{n}$ + u$_{1}$
b) Ta có: $2S_{n}=2.(u_{1}+u_{2}+u_{3}+...u_{n})$
$=(u_{1}+u_{n})+(u_{2}+u_{n-1})+...+(u_{n}+u_{1})$
$=2u_{1}+(n-1)d+2u_{1}+(n-1)d+...+2u_{1}+(n-1)d$
$=2n.u_{1}+n(n-1)d$
$=n(u_{1}+u_{1}+(n-1)d)$
$=n(u_{1}+u_{n})$
Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
Cho cấp số cộng (u$_{n}$) có số hạng đầu u1 và công sai d. Đặt $S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...u_{n}$.
Khi đó: $S_{n}=\frac{(u_{1}+u_{n}).n}{2}$
Nhận xét: Do $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$ nên u$_{1}$ + u$_{n}$ = 2u$_{1}$ + (n - 1)d. Suy ra:
$S_{n}=\frac{[2u_{1}+(n-1)d]n}{2}$
Ví dụ 4: (SGK – tr.51).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.51).
Luyện tập 4
a) $n=10, d=-2$ => $S_{n}=\frac{\left [ 2.3+(10-1)(-2) \right ].10}{2}=-60$.
b) $n=15, d=0,5$ => $S_{n}=\frac{\left [ 2.1,2+(15-1).0,5 \right ].15}{2}=70,5$.
Ví dụ 5: (SGK – tr.51).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.51).