Bài tập & Lời giải
MỞ ĐẦU
Zénon (Zê-nông, 496 - 429 trước Công nguyên) là một triết gia Hy Lạp ở thành phố Edéc đã phát biểu nghịch lí như sau: Achilles (A-sin) là một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, người được mệnh danh là có "đôi chân chạy nhanh như gió" đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm $A_{1}$ cách Achilles một khoảng bằng $a$ khác 0. Khi Achilles chạy đến vị trí rùa xuất phát thì rùa chạy về trước một khoảng (như Hình 1). Quá trình này tiếp tục vô hạn. Vì thế, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.
Câu hỏi: Trên thực tế, Achilles không đuổi kịp rùa là vô lí. Kiến thức toán học nào có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng?
Xem lời giải
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa
Luyện tập, vận dụng 1: Chứng minh rằng:
a) $\lim0=0$;
b) $\lim\frac{1}{\sqrt{n}}=0$.
Xem lời giải
Luyện tập, vận dụng 2: Chứng minh rằng $\lim\frac{-4n+1}{n}=-4$.
Xem lời giải
2. Một số giới hạn cơ bản
Luyện tập, vận dụng 3: Chứng minh rằng $\lim(\frac{e}{\pi })^{n}=0$.
Xem lời giải
II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
Luyện tập, vận dụng 4: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim\frac{8n^{2}+n}{n^{2}}$;
b) $\lim\frac{\sqrt{4+n^{2}}}{n}$.
Xem lời giải
III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Luyện tập, vận dụng 5: Tính tổng $M=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}-$...$+(-\frac{1}{2})^{n-1}+$...
Xem lời giải
Luyện tập, vận dụng 6: Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.
Xem lời giải
Luyện tập, vận dụng 8: Chứng tỏ rằng $\lim\frac{n-1}{n^{2}}=0$.
Xem lời giải
Bài tập 1 trang 64 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Cho hai dãy số $(u_{n}), (v_{n})$ với $u_{n}=3+\frac{1}{n}; v_{n}=5-\frac{2}{n^{2}}$. Tính các giới hạn sau:
a) $\lim u_{n}, \lim v_{n}$.
b) $\lim(u_{n}+v_{n}), \lim(u_{n}-v_{n}), \lim(u_{n}.v_{n}), \lim\frac{u_{n}}{v_{n}}$.
Xem lời giải
Bài tập 2 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim\frac{5n+1}{2n}$;
b) $\lim\frac{6n^{2}+8n+1}{5n^{2}+3}$;
c) $\lim\frac{\sqrt{n^{2}+5n+3}}{6n+2}$;
d) $\lim(2-\frac{1}{3^{n}})$;
e) $\lim\frac{3^{n}+2^{n}}{4.3^{n}}$;
g) $\lim\frac{2+\frac{1}{n}}{3^{n}}$.
Xem lời giải
Bài tập 3 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều:
a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $(u_{n})$, với $(u_{n})$, với $u_{1}=\frac{2}{3}, q=-\frac{1}{4}$.
b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.
Xem lời giải
Bài tập 4 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.
a) Tính diện tích $S_{n}$ của hình vuông được tạo thành ở bước thứ $n$;
b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.
Xem lời giải
Bài tập 5 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T= 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). (Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXBGD Việt Nam, 2021)
Gọi $u_{n}$ là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.
a) Tìm số hạng tổng quát $u_{n}$ của dãy số $(u_{n})$.
b) Chứng minh rằng $(u_{n})$ có giới hạn là 0.
c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn $10^{-6}$ g.
Xem lời giải
Bài tập 6 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Gọi $C$ là nửa đường tròn đường kính $AB=2R$, $C_{1}$ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2}$, $C_{2}$ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{4}$, $C_{n}$ là đường gồm $2^{n}$ nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2^{n}}$,... (Hình 4). Gọi $p_{n}$ là độ dài của $C_{n}$, $S_{n}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $C_{n}$ và đoạn thẳng $AB$.
a) Tính $p_{n}, S_{n}$.
b) Tìm giới hạn của các dãy số $(p_{n})$ và $(S_{n})$.
Xem lời giải
Hoạt động 1 trang 59 Toán 11 tập 1 CD: Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số ($u_{n}$), với $u_{n}=$ trên hệ trục tọa độ.
a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị $u_{n}$ khi n ngày càng lớn.
b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:
| n | 1000 | 1001 | ... | 10000 | 10001 | ... |
| |$u_{n}-0$| | 0,001 | ? | ... | 0,0001 | ? | ... |
Kể từ số hạng $u_{n}$ nào của dãy số thì khoảng cách từ $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?
Xem lời giải
Hoạt động 2 trang 60 Toán 11 tập 1 CD: Cho dãy số $(u_{n})$, với $u_{n}=2+\frac{1}{n}$. Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(u_{n}-2)$
Xem lời giải
Hoạt động 3 trang 62 Toán 11 tập 1 CD: Cho hai dãy số (u$_{n}$), (v$_{n}$) với $u_{n}=8+\frac{1}{n};v_{n}=4-\frac{2}{n}$
a) Tính limu$_{n}$, limv$_{n}$
b) Tính lim(u$_{n}$ + v$_{n}$) và so sánh giá trị đó với tổng limu$_{n}$ + limv$_{n}$.
c) Tính lim(u$_{n}$.v$_{n}$) và so sánh giá trị đó với tổng limu$_{n}$.limv$_{n}$.
Xem lời giải
Hoạt động 4 trang 63 Toán 11 tập 1 CD: Cho cấp số nhân ($u_{n}$), với $u_{1}$ = 1 và công bội q= $\frac{1}{2}$
a) Hãy so sánh |q| với 1.
b) Tính $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$. Từ đó, hãy tính lim$S_{n}$.
Xem lời giải
Hoạt động 5 trang 63 sgk Toán 11 tập 1 CD: Quan sát dãy số (u$_{n}$) với $u_{n} = n^{2}$ và cho biết giá trị của $n_{n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì được hay không kể từ một số hạng nào đó trở đi.