Bài tập & Lời giải
MỞ ĐẦU
Hình 5 biểu diễn đồ thị hàm số vận tốc $v(t)$ theo biến số $t$ ($t$ là thời gian, đơn vị: giây). Khi các giá trị của biến số $t$ dần tới 0,2 (s) thì các giá trị tương ứng của hàm số $v(t)$ dần tới 0,070 (m/s).
Câu hỏi: Trong toán học, giá trị 0,070 biểu thị khái niệm gì của hàm số $v(t)$ khi các giá trị của biến số $t$ dần tới 0,2?
Xem lời giải
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
1. Định nghĩa
Luyện tập, vận dụng 1: Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng $\lim_{x\rightarrow 2}x^{2}=4$.
Xem lời giải
2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số
Luyện tập, vận dụng 2: Tính:
a) $\lim_{x\rightarrow 2}\left [ \left ( x+1 \right )\left ( x^{2}+2x \right ) \right ] $;
b) $\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{x^{2}+x+3}$.
Xem lời giải
3. Giới hạn một phía
Luyện tập, vận dụng 3: Tính $\lim_{x\rightarrow -4^{+}}(\sqrt{x+4}+x)$.
Xem lời giải
II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
Luyện tập, vận dụng 4: Tính $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{3x+2}{4x-5}$.
Xem lời giải
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC (MỘT PHÍA) CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Luyện tập, vận dụng 5: Tính: $\lim_{x\rightarrow -2^{-}} \frac{1}{x+2}$.
Xem lời giải
IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
Luyện tập, vận dụng 6: Tính: $\lim_{x\rightarrow -\infty} x^{4}$.
Xem lời giải
Bài tập 1 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:
a) $\lim_{x\rightarrow -3} x^{2}$;
b) $\lim_{x\rightarrow 5} \frac{x^{2}-25}{x-5}$.
Xem lời giải
Bài tập 2 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Biết rằng hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)=3$ và $\lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)=5$. Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn $\lim_{x\rightarrow 2} f(x)$ hay không? Giải thích.
Xem lời giải
Bài tập 3 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim_{x\rightarrow 2} (x^{2}-4x+3)$;
b) $\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^{2}-5x+6}{x-3}$;
c) $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$.
Xem lời giải
Bài tập 4 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{9x+1}{3x-4}$;
b) $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{7x-11}{2x+3}$;
c) $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$;
d) $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$;
e) $\lim_{x\rightarrow 6^{-}} \frac{1}{x-6}$;
g) $\lim_{x\rightarrow 7^{+}} \frac{1}{x-7}$.
Xem lời giải
Bài tập 5 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được $N(t)=\frac{50t}{t+4} \left ( t\geq 0 \right )$ bộ phận mỗi ngày sau $t$ ngày đào tạo. Tính $\lim_{t\rightarrow +\infty}N(t)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả.
Xem lời giải
Bài tập 6 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất $x$ sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: $C(x) = 50 000 + 105x$.
a) Tính chi phí trung bình $\overline{\rm C}(x)$ để sản xuất một sản phẩm.
b) Tính $\lim_{x\rightarrow +\infty}\overline{\rm C}(x)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả.
Xem lời giải
Hoạt động 1 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 CD: Xét hàm số f(x) = 2x.
a) Xét dãy số ($x_{n}$), với $x_{n} =1+\frac{1}{n}$ . Hoàn thành bảng giá trị f($x_{n}$) tướng ứng.
| x | $x_{1}=2$ | $x_{2}=\frac{3}{2}$ | $x_{3}=\frac{4}{3}$ | $x_{4}=\frac{5}{4}$ | ... | $x_{n}=\frac{n+1}{n}$ | ... |
| f(x) | $f(x_{1})=?$ | $f(x_{2})=?$ | $f(x_{3})=?$ | $f(x_{4})=?$ | ... | $f(x_{n})=?$ | ... |
Các giá trị tương ứng của hàm số $f(x_{1}), f(x_{2}), ..., f(x_{n}), ...$ lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là (f(x$_{n}$)). Tìm limf(x$_{n}$).
b) Chứng minh rằng với dãy số bất kì $(x_{n}), x_{n} → 1$ ta luôn có f($x_{n}$) → 2.
Xem lời giải
Hoạt động 2 trang 67 sgk Toán 11 tập 1 CD: Cho hàm số f(x) = $x^{2}$ – 1, g(x) = x + 1.
a) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)$ và $\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)$
b) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x)+g(x))$ và so sánh với $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)+\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)$
c) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x)-g(x))$ và so sánh với $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)-\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)$
d) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x).g(x))$ và so sánh với $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x).\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)$
e) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ và so sánh với $\frac{\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)}{\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)}$
Xem lời giải
Hoạt động 3 trang 68 sgk Toán 11 tập 1 CD: Cho hàm số f(x) = $\left\{\begin{matrix}-1khix<0\\ 0 khi x=0\\ 1 khi x>0\end{matrix}\right.$ Hàm số f(x) có đồ thị ở Hình 6.
a) Xét dãy số (u$_{n}$) sao cho u$_{n}$ < 0 và lim u$_{n}$ = 0. Xác định f(u$_{n}$) và tìm lim f(u$_{n}$).
b) Xét dãy số (v$_{n}$) sao cho v$_{n}$ > 0 và lim v$_{n}$ = 0. Xác định f(v$_{n}$) và tìm limf(v$_{n}$).
Xem lời giải
Hoạt động 4 trang 69 sgk Toán 11 tập 1 CD: Cho hàm số f(x) = $\frac{1}{x}(x\neq 0)$ có đồ thị như ở Hình 7. Quan sát đồ thị đó và cho biết:
a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới giá trị nào.
b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới giá trị nào.
Xem lời giải
Hoạt động 5 trang 70 sgk Toán 11 tập 1 CD: Cho hàm số f(x) = $\frac{1}{x-1}(x\neq 1)$ có đồ thị như Hình 8. Quan sát đồ thị đó và cho biết:
a) Khi biến x dần tới 1 về bên phải thì f(x) dần tới đâu.
b) Khi biến x dần tới 1 về bên trái thì f(x) dần tới đâu.
Xem lời giải
Hoạt động 6 trang 71 sgk Toán 11 tập 1 CD: Cho hàm số f(x) = x có đồ thị như Hình 9. Quan sát đồ thị đó và cho biết:
a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới đâu.
b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới đâu.
