2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số
Luyện tập, vận dụng 2: Tính:
a) $\lim_{x\rightarrow 2}\left [ \left ( x+1 \right )\left ( x^{2}+2x \right ) \right ] $;
b) $\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{x^{2}+x+3}$.
Bài Làm:
a) $\lim_{x\rightarrow 2}\left [ \left ( x+1 \right )\left ( x^{2}+2x \right ) \right ] =24$;
b) $\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{x^{2}+x+3}=3$
Trong: Giải toán 11 Cánh diều bài 2 Giới hạn của hàm số
Hình 5 biểu diễn đồ thị hàm số vận tốc $v(t)$ theo biến số $t$ ($t$ là thời gian, đơn vị: giây). Khi các giá trị của biến số $t$ dần tới 0,2 (s) thì các giá trị tương ứng của hàm số $v(t)$ dần tới 0,070 (m/s).
Câu hỏi: Trong toán học, giá trị 0,070 biểu thị khái niệm gì của hàm số $v(t)$ khi các giá trị của biến số $t$ dần tới 0,2?
1. Định nghĩa
Luyện tập, vận dụng 1: Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng $\lim_{x\rightarrow 2}x^{2}=4$.
3. Giới hạn một phía
Luyện tập, vận dụng 3: Tính $\lim_{x\rightarrow -4^{+}}(\sqrt{x+4}+x)$.
Luyện tập, vận dụng 4: Tính $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{3x+2}{4x-5}$.
Luyện tập, vận dụng 5: Tính: $\lim_{x\rightarrow -2^{-}} \frac{1}{x+2}$.
Luyện tập, vận dụng 6: Tính: $\lim_{x\rightarrow -\infty} x^{4}$.
Bài tập 1 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:
a) $\lim_{x\rightarrow -3} x^{2}$;
b) $\lim_{x\rightarrow 5} \frac{x^{2}-25}{x-5}$.
Bài tập 2 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Biết rằng hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)=3$ và $\lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)=5$. Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn $\lim_{x\rightarrow 2} f(x)$ hay không? Giải thích.
Bài tập 3 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim_{x\rightarrow 2} (x^{2}-4x+3)$;
b) $\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^{2}-5x+6}{x-3}$;
c) $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$.
Bài tập 4 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{9x+1}{3x-4}$;
b) $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{7x-11}{2x+3}$;
c) $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$;
d) $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$;
e) $\lim_{x\rightarrow 6^{-}} \frac{1}{x-6}$;
g) $\lim_{x\rightarrow 7^{+}} \frac{1}{x-7}$.
Bài tập 5 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được $N(t)=\frac{50t}{t+4} \left ( t\geq 0 \right )$ bộ phận mỗi ngày sau $t$ ngày đào tạo. Tính $\lim_{t\rightarrow +\infty}N(t)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả.
Bài tập 6 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất $x$ sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: $C(x) = 50 000 + 105x$.
a) Tính chi phí trung bình $\overline{\rm C}(x)$ để sản xuất một sản phẩm.
b) Tính $\lim_{x\rightarrow +\infty}\overline{\rm C}(x)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả.
Hoạt động 1 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 CD: Xét hàm số f(x) = 2x.
a) Xét dãy số ($x_{n}$), với $x_{n} =1+\frac{1}{n}$ . Hoàn thành bảng giá trị f($x_{n}$) tướng ứng.
| x | $x_{1}=2$ | $x_{2}=\frac{3}{2}$ | $x_{3}=\frac{4}{3}$ | $x_{4}=\frac{5}{4}$ | ... | $x_{n}=\frac{n+1}{n}$ | ... |
| f(x) | $f(x_{1})=?$ | $f(x_{2})=?$ | $f(x_{3})=?$ | $f(x_{4})=?$ | ... | $f(x_{n})=?$ | ... |
Các giá trị tương ứng của hàm số $f(x_{1}), f(x_{2}), ..., f(x_{n}), ...$ lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là (f(x$_{n}$)). Tìm limf(x$_{n}$).
b) Chứng minh rằng với dãy số bất kì $(x_{n}), x_{n} → 1$ ta luôn có f($x_{n}$) → 2.
Hoạt động 2 trang 67 sgk Toán 11 tập 1 CD: Cho hàm số f(x) = $x^{2}$ – 1, g(x) = x + 1.
a) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)$ và $\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)$
b) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x)+g(x))$ và so sánh với $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)+\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)$
c) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x)-g(x))$ và so sánh với $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)-\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)$
d) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x).g(x))$ và so sánh với $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x).\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)$
e) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ và so sánh với $\frac{\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)}{\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)}$
Hoạt động 3 trang 68 sgk Toán 11 tập 1 CD: Cho hàm số f(x) = $\left\{\begin{matrix}-1khix<0\\ 0 khi x=0\\ 1 khi x>0\end{matrix}\right.$ Hàm số f(x) có đồ thị ở Hình 6.
a) Xét dãy số (u$_{n}$) sao cho u$_{n}$ < 0 và lim u$_{n}$ = 0. Xác định f(u$_{n}$) và tìm lim f(u$_{n}$).
b) Xét dãy số (v$_{n}$) sao cho v$_{n}$ > 0 và lim v$_{n}$ = 0. Xác định f(v$_{n}$) và tìm limf(v$_{n}$).
Hoạt động 4 trang 69 sgk Toán 11 tập 1 CD: Cho hàm số f(x) = $\frac{1}{x}(x\neq 0)$ có đồ thị như ở Hình 7. Quan sát đồ thị đó và cho biết:
a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới giá trị nào.
b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới giá trị nào.
Hoạt động 5 trang 70 sgk Toán 11 tập 1 CD: Cho hàm số f(x) = $\frac{1}{x-1}(x\neq 1)$ có đồ thị như Hình 8. Quan sát đồ thị đó và cho biết:
a) Khi biến x dần tới 1 về bên phải thì f(x) dần tới đâu.
b) Khi biến x dần tới 1 về bên trái thì f(x) dần tới đâu.
Hoạt động 6 trang 71 sgk Toán 11 tập 1 CD: Cho hàm số f(x) = x có đồ thị như Hình 9. Quan sát đồ thị đó và cho biết:
a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới đâu.
b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới đâu.
Xem thêm các bài Giải toán 11 tập 1 cánh diều được biên soạn cho Học kì 1 & Học kì 2 theo mẫu chuẩn của Bộ Giáo dục theo sát chương trình Lớp 11 giúp bạn học tốt hơn.
Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 11, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 11 giúp bạn học tốt hơn.