Lý thuyết trọng tâm toán 11 cánh diều bài 1: Giới hạn của dãy số

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

HĐ1:

a) Khi n ngày càng lớn thì giá trị của u$_{n}$ càng giảm dần về 0.

b) Ta có bảng:

Định nghĩa: Dãy số (u$_{n}$) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u$_{n}$| nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu u$_{n}$  = 0 hay u$_{n}$ → 0 khi n → +∞. Ta còn viết là lim⁡u$_{n}$ = 0.

Nhận xét: Nếu u$_{n}$ ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì u$_{n}$ = 0

Ví dụ 1 (SGK -tr.60)

Luyện tập 1

a) Xét: u$_{n}$ = 0 với mọi n ∈ N*

Với mọi h > 0 bé tùy ý, ta có:

|u$_{n}$| < h với mọi n ∈ N*

Vậy lim 0 = 0.

b) Xét: $u_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}$ với mọi n ∈ N*

Với mọi h > 0 bé tùy ý, ta có

$|u_{n}|<h\Leftrightarrow \left | \frac{1}{\sqrt{n}} \right |<h\Leftrightarrow \sqrt{n}>\frac{1}{h}\Leftrightarrow n>\frac{1}{h^{2}}$

Vậy với các số tự nhiên $n>\frac{1}{h^{2}}$ thì |u$_{n}$| < h.

Theo định nghĩa, ta có $\frac{1}{\sqrt{n}}$ = 0 .

HĐ2:

Ta có $(u_{n}-2)=\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}=0$

Định nghĩa: Dãy số (u$_{n}$) có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới dương vô cực, nếu lim (u$_{n}$ - a) = 0. Khi đó, ta viết u$_{n}$ = a hay lim⁡u$_{n}$ = a hay u$_{n}$ → a khi n → +∞.

Ví dụ 2 (SGK -tr.61)

Chú ý:

• Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất
• Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số (u$_{n}$) với $u_{n}=(-1)^{n}$.

Luyện tập 2

Ta có: $\lim (\frac{-4n+1}{n}+4)=\lim (-4+\frac{1}{n}+4)=\lim\frac{1}{n}=0 $ nên $\lim\frac{-4n+1}{n}=-4$.

2. Một số giới hạn cơ bản

Ta thừa nhận các giới hạn sau

a) $\frac{1}{n}=0$; lim$\frac{1}{n^{k}}=0$ với k là số nguyên dương cho trước;

b) $\frac{c}{n}=0$; $\frac{c}{n^{k}}=0$; với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước.

c) Nếu |q| < 1 thì q$^{n}$ = 0;

d) Dãy số (u$_{n}$) với $u_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$ có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e.

$e=(1+\frac{1}{n})^{n}$

Một giá trị gần đúng của e là 2,718281828459045.

Ví dụ 3 (SGK -tr.62)

Luyện tập 3

Vì $\left | \frac{e}{\pi } \right |< 1$ nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có: $\lim(\frac{e}{\pi })^{n}=0$. 

2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

HĐ 3.

a) 

$lim(u_{n}-8)=lim(8+\frac{1}{n}-8)=0\Rightarrow limu_{n}=8$

$lim(v_{n}-4)=lim(4-\frac{2}{n}-4)=0\Rightarrow limv_{n}=8$

b) 

lim⁡u$_{n}$ + lim⁡v$_{n}$ = 8 + 4 = 12.

Ta có: u$_{n}$ + v$_{n}$ = 8 + $\frac{1}{n}$ + 4 - $\frac{2}{n}$ = 12 - $\frac{1}{n}$

Ta lại có: 

lim(u$_{n}$ + v$_{n}$ - 12) = lim(12 - $\frac{1}{n}$ - 12) = 0

=> lim(u$_{n}$ + v$_{n}$) = 12

Vậy  lim(u$_{n}$ + v$_{n}$) = limu$_{n}$ + limv$_{n}$.

c) Ta có: $u_{n}.v_{n}=\left ( 8+\frac{1}{n} \right )(4-\frac{2}{n})=32-\frac{12}{n}-\frac{2}{n^{2}}$

$lim(u_{n}.v_{n}-32)=lim\left (32-\frac{12}{n}-\frac{2}{n^{2}}-32  \right )=0$

=> $lim(u_{n}.v_{n})=32$

Ta có: $limu_{n}.limv_{n}$ = 8.4 = 32

Vậy $limu_{n}.limv_{n}$ = $lim(u_{n}.v_{n})$.

Kết luận

a) Nếu u$_{n}$ = a, v$_{n}$ = b thì:

• lim(u$_{n}$ + v$_{n}$) = a + b
• lim(u$_{n}$ - v$_{n}$) = a - b
• lim(u$_{n}$.v$_{n}$) = a⋅b
• $lim\frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{a}{b}$ (b ≠ 0)

b) Nếu u$_{n}$ ≥ 0,∀n ∈ N* và limu$_{n}$ = a thì a ≥ 0 và limu$_{n}$ = a.

Ví dụ 4 (SGK -tr.62)

Luyện tập 4 (SGK -tr.63)

a) $\lim\frac{8n^{2}+n}{n^{2}}=\lim8+\lim\frac{1}{n}=8$

b) $\lim\frac{\sqrt{4+n^{2}}}{n}=\lim\frac{n\sqrt{\frac{4}{n^{2}}+1}}{n}=1$

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

HĐ 4:

a) Ta có |q| < 1

b) $S_{n}=\frac{1.(1-\left (\frac{1}{2}  \right )^{n})}{1-\frac{1}{2}}=2\left (1-\left (\frac{1}{2}  \right )^{n}  \right )$

$limS_{n}=lim2.lim\left (1-\left (\frac{1}{2}  \right )^{n}  \right )=2$

Kết luận

Cấp số nhân vô hạn u$_{1}$, u$_{1}$q, …., u$_{1}$q$^{n-1}$,… có công bội q thỏa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là: 

$S=u_{1}+u_{1}q+...+u_{1}q^{n-1}+...=\frac{u_{1}}{1-q}$

Ví dụ 5 (SGK -tr.63)

Ví dụ 6 (SGK -tr.63)

Luyện tập 5

Ta có dãy số $1;-\frac{1}{2};\frac{1}{2^{2}};...;\left ( -\frac{1}{2} \right )^{n-1};...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = $_{1}$ và công bội q = $-\frac{1}{2}$

Nên $M=\frac{1}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{2}{3}$

Luyện tập 6

Thời gian Achilles chạy hết các quãng đường có độ dài 100 km, 1 km, $\frac{1}{100}$ km, $\frac{1}{100^{2}}$ km,... lần lượt là 1h, $\frac{1}{100}$h, $\frac{1}{100^{2}}$h, $\frac{1}{100^{3}}$h...

Vậy thời gian đi hết quãng đường trên là 

$T=1+\frac{1}{100}+\frac{1}{100^{2}}+\frac{1}{100^{3}}+$... $+\frac{1}{100^{n}}+$... (h)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=1$, công bội $q=\frac{1}{100}$, nên ta có:

$T=\frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{100}{99}=1\frac{1}{99}$ (h)

Như vậy, A-sin đuổi kịp rùa sau $1\frac{1}{99}$ giờ. 

4. GIỚI HẠN VÔ CỰC 

HĐ 5:

Ta có: khi n → +∞ thì n$^{2}$ → +∞

Khi đó u$_{n}$ = n$^{2}$ có thể lớn tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kết luận: Ta nói dãy số u$_{n}$ có giới hạn là +∞ khi n→+∞ nếu un lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu limu$_{n}$ =+∞ hay u$_{n}$→+∞ khi n→+∞.

Ta nói dãy số (u$_{n}$) có giói hạn là -∞ khi n→+∞ nếu lim(-u$_{n}$) = +∞.

Kí hiệu limu$_{n}$ = -∞ hay u$_{n}$→-∞ khi n→+∞.

Ví dụ 7 (SGK -tr.64)

Luyện tập 7 

Xét dãy số u$_{n}$ = n$^{3}$

Với M là số dương bất kì, ta thấy u$_{n}$ = n$^{3}$ > M ⟺ n > $\sqrt[3]{M}$.

Vậy với các số tự nhiên n > $\sqrt[3]{M}$ thì u$_{n}$ > M. 

Do đó, (-n$^{3}$) = -∞.

Nhận xét:

• lim⁡n$^{k}$ = +∞ (với k là số nguyên dương cho trước).
• lim q$^{n}$ = +∞ (với q > 1 là số thực cho trước).
• Nếu limu$_{n}$ = a và lim|v$_{n}$| = +∞ thì $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ = 0 .
• Nếu limu$_{n}$ = a, a > 0 và limv$_{n}$ = 0, v$_{n}$ > 0 với mọi n thì $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ = +∞.
• limu$_{n}$  = +∞ ⇔ lim(-u$_{n}$) = -∞

Ví dụ 8 (SGK -tr.64)

Luyện tập 8

Ta có: $\lim\frac{n-1}{n^{2}}=\lim\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}}{1}=0$ (đpcm).