1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG PHÂN BIỆT
HĐ 1
a) Trong một mặt phẳng, ta có các vị trí tương đối sau của hai đường thẳng:
- Hai đường thẳng cắt nhau;
- Hai đường thẳng song song với nhau;
- Hai đường thẳng trùng nhau.
b) Hai đường thẳng a và b trong Hình 31a) đang nằm trên cùng một mặt phẳng và cắt nhau.
Hai đường thẳng a và b trong Hình 31b) không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Kết luận: Cho hai đường thẳng a và b phân biệt trong không gian. Khi đó xảy ra một trong các trường hợp
- Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó ta nói a và b đồng phẳng
- a và b có một điểm chung duy nhất I, thì a cắt b tại I, kí hiệu a ∩ b=I.
- a và b không có điểm chung thì a và b song song, kí hiệu a // b.
- Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa a và b.
- Khi đó a và b chéo nhau, hay a chéo b.
Kết luận: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
Chú ý: Cho hai đường thẳng song song a và b. Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó, kí hiệu: mb(a,b).
Ví dụ 1 (SGK -tr.96)
Luyện tập 1
- Hai đường thẳng a và b song song với nhau.
- Hai đường thẳng a và c chéo nhau.
- Hai đường thẳng b và c cắt nhau.
2. TÍNH CHẤT
HĐ 2 Dự đoán: Trong không gian, qua điểm M ta vẽ được một đường thẳng duy nhất song song với đường thẳng d.
Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Chứng minh (SGK -tr.97)
HĐ 3: Ta có: a ∩ b = {M}
Mà a ⊂ (P); b ⊂ (Q)
Nên M ∈ (P) và M ∈ (Q). Do đó M là giao điểm của (P) và (Q).
Mà (P) ∩ (Q) = c, suy ra M ∈ c.
Vậy đường thằng c đi qua điểm M.
Giả sử trong mặt phẳng (P) có a ∩ c = {N}.
Khi đó N ∈ a mà a ⊂ (R) nên N ∈ (R)
N ∈ c mà c ⊂ (Q) nên N ∈ (Q)
Do đó N là giao điểm của (R) và (Q).
Mà (Q) ∩ (R) = b
Suy ra N ∈ b.
Vì thế a và b có điểm chung là N (mâu thuẫn với giả thiết a và b song song).
Vậy nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b thì đường thẳng a và b song song với đường thẳng c.
Định lí 2 (về giao tuyến của ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Ví dụ 2 (SGK -tr.98)
Ví dụ 3 (SGK -tr.99)
Luyện tập 2
Ta có: S ∈ (SAB) và S ∈ (SCD) nên S là giao điểm của (SAB) và (SCD).
Mà AB // CD; AB ⊂ (SAB); CD ⊂ (SCD).
Do đó giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng n đi qua S và song song với AB và CD.
Ta có: S ∈ (SAD) và S ∈ (SBC) nên S là giao điểm của (SAD) và (SBC).
Mà AD // BC; AD ⊂ (SAD); BC ⊂ (SBC).
Do đó giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng p đi qua S và song song với AD và BC.
HĐ 4: Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Định lí 3: Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Kí hiệu: a // b //c.
Ví dụ 4 (SGK -tr.99)
Luyện tập 3
Xét tam giác SAC, có:
M là trung điểm SA, N là trung điểm của SC
Do đó MN là đường trung bình của tam giác SAC.
Suy ra MN // AC (1)
Xét tam giác ABC, có $\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}=\frac{1}{3}$.
Suy ra PQ // AC (định lí Thalès đảo) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ