Luyện tập, vận dụng 6: Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.
Bài Làm:
Để đơn giản, ở đây ta chỉ xét một trường hợp cụ thể (trường hợp tổng quát được giải quyết tương tự).
Giả sử tốc độ chạy của A-sin là 100 km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1km/h. Lúc xuất phát, rùa ở điểm $A_{1}$ cách điểm xuất phát O của A-sin 100km.
Ta tính thời gian A-sin đuổi kịp rùa, bằng cách tính tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường $OA_{1}, A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},$... $,A_{n-1}A_{n}$,... Nếu tổng này vô hạn thì A-sin không thể đuổi kịp được rùa, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là thời gian mà A-sin đuổi kịp rùa.
Để chạy hết quãng đường $OA_{1}=100$ (km), A-sin phải mất thời gian $t_{1}=\frac{100}{100}=1$ (h).
Với thời gian $t_{1}$ này, rùa đã chạy được quãng đường $A_{1}A_{2}=1$ (km).
Để chạy hết quãng đường $A_{1}A_{2}=1$ (km), A-sin phải mất thời gian $t_{2}=\frac{1}{100}$ (h).
Với thời gian $t_{2}$ rùa đã chạy thêm được quãng đường $A_{2}A_{3}=\frac{1}{100}$ (km).
Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường $A_{n-1}A_{n}=\frac{1}{100^{n-2}}$ (km), A-sin phải mất thời gian $t_{n}=\frac{1}{100^{n-1}}$ (h).
Vậy tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường $OA_{1}, A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},$... $,A_{n-1}A_{n}$,... là:
$T=1+\frac{1}{100}+\frac{1}{100^{2}}+\frac{1}{100^{3}}+$... $+\frac{1}{100^{n}}+$... (h)
Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=1$, công bội $q=\frac{1}{100}$, nên ta có:
$T=\frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{100}{99}=1\frac{1}{99}$ (h)
Như vậy, A-sin đuổi kịp rùa sau $1\frac{1}{99}$ giờ.
Kết quả trên cho phép giải thích nghịch lí của Zénon.
