Câu 5: Trang 127 toán VNEN 8 tập 1
Cho tam giác ABC và điểm M bất kì nằm trong tam giác đó. Kẻ các đường cao của tam giác đó là AD, BE, CF. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với AD cắt cạnh BC tại điểm H. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với BE cắt cạnh AC tại điểm K.Đường thẳng đi qua điểm M và song song với CF cắt cạnh BA tại điểm T. Chứng minh rằng $\frac{MH}{AD}$ + $\frac{MK}{BE}$ + $\frac{MT}{CF}$ = 1.
Bài Làm:
Gọi diện tích các hình tam giác ABC, MAB, MAC, MBC lần lượt là S, S$_{1}$, S$_{2}$, S$_{3}$.
Ta có: S = S$_{1}$ + S$_{2}$ + S$_{3}$.
Trong đó: S = $\frac{AD.BC}{2}$ = $\frac{BE.AC}{2}$ = $\frac{CF.AB}{2}$;
S$_{1}$ = $\frac{MT.AB}{2}$; S$_{2}$ = $\frac{MK.AC}{2}$; S$_{3}$ = $\frac{MH.BC}{2}$.
Lại có:
$\frac{S_{1}}{S}$ = $\frac{\frac{MT.AB}{2}}{\frac{CF.AB}{2}}$ = $\frac{MT}{CF}$
$\frac{S_{2}}{S}$ = $\frac{\frac{MK.AC}{2}}{\frac{BE.AC}{2}}$ = $\frac{MK}{BE}$
$\frac{S_{3}}{S}$ = $\frac{\frac{MH.CB}{2}}{\frac{AD.CB}{2}}$ = $\frac{MH}{AD}$
$\Rightarrow$ $\frac{MH}{AD}$ + $\frac{MK}{BE}$ + $\frac{MT}{CF}$ = $\frac{S_{1}}{S}$ + $\frac{S_{2}}{S}$ + $\frac{S_{3}}{S}$ = $\frac{S_{1} + S_{2} + S_{3}}{S}$ = $\frac{S}{S}$ = 1 (đpcm).