Giải câu 11 bài ôn tập chương 4: Bất đẳng thức, bất phương trình sgk Đại số 10 trang 107

Câu 11: trang 107 sgk Đại số 10

a) Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức \(a^2-b^2= (a-b)(a+b)\)

Hãy xét dấu \(f(x)= x^4– x^2+6x – 9\)và \(g(x) = x^2– 2x - {4 \over {{x^2} - 2x}}\)

b) Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình sau: \(x(x^3– x + 6) > 9\)

Bài Làm:

a) Ta có

\(f(x) = {x^4} - {x^2} + 6x - 9 = {\left( {{x^2}} \right)^2} - {\left( {x - 3} \right)^2} = \left( {{x^2} + x - 3} \right)\left( {{x^2} - x + 3} \right)\)

Ta lại có \({{x^2} - x + 3} > 0, ∀x ∈\mathbb R\) ( vì \(a = 1> 0, Δ = 1- 4.3<0\))

\(\Rightarrow f(x)\)cùng dấu với \(x^2+x-3\)

Tam thức \(x^2+x-3\)có hai nghiệm là \(\frac{-1-\sqrt {13}}{2}; \frac{-1+\sqrt {13}}{2}\)

Vậy

  • \(f(x)>0\)khi \(x < {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2}\)hoặc \(x > {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2}\)
  • \(f(x)<0\)khi \(\frac{-1-\sqrt {13}}{2} < x < \frac{-1+\sqrt {13}}{2}\)

\(g(x) = x^2– 2x -  {4 \over {{x^2} - 2x}}\) 

\(={{{{({x^2} - 2x)}^2} - {2^2}} \over {{x^2} - 2x}}\)

\(= {{({x^2} - 2x + 2)({x^2} - 2x - 2)} \over {{x^2} - 2x}}\)

Ta lại có \(x^2– 2x + 2 > 0 ,∀x ∈\mathbb R\)

\(\Rightarrow g(x)\)cùng dấu với \({{{x^2} - 2x - 2} \over {{x^2} - 2x}}\)

Tam thức \(x^2-2x-2\)có hai nghiệm là \(1-\sqrt 3; 1+\sqrt 3\)

\(x^2-2x\)có hai nghiệm là \(x; 2\)

Ta lập bảng xét dấu

Vậy

  • \(g(x)>0\)khi \(x \in \left ( -\infty ;1-\sqrt{3} \right )\cup \left ( 0;2 \right )\cup \left ( 1+\sqrt{3}; +\infty  \right )\)
  • \(g(x)>0\)khi \(x \in \left ( 1-\sqrt{3};0 \right )\cup \left ( 2; 1+ \sqrt{3} \right )\)

b) \(x({x^3} - x + 6) > 9 \)

\(\Leftrightarrow {x^4} - {x^2} + 6x - 9 > 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^4} - {(x - 3)^2} > 0 \)

\(\Leftrightarrow ({x^2} - x + 3)({x^2} + x - 3) > 0\)

Ta có \({{x^2} - x + 3} > 0, ∀x ∈\mathbb R ( \text{vì} \,\,a = 1> 0, Δ = 1- 4.3<0)\)

\(\Rightarrow  ({x^2} + x - 3) > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{x < {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2} \hfill \cr x > {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Vậy nghiệm nguyên của bất phương trình là \(\left\{x\in \mathbb Z|x\le-3\text{ hoặc } x\ge2\right\}\)

Xem thêm Bài tập & Lời giải

Trong: Giải bài Ôn tập chương 4: Bất đẳng thức, bất phương trình sgk Đại số 10 trang 106

Câu 1: trang 106 sgk Đại số 10

Sử dụng dấu bất đẳng thức để viết các mệnh đề sau:

a) \(x\) là số dương

b) \(y\) là số không âm

c) Với mọi số thực \(α, | α|\) là số không âm

d) Trung bình cộng của hai số dương \(a\) và \(b\) không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng.

Xem lời giải

Câu 2: trang 106 sgk Đại số 10

Có thể rút ra kết luận gì về dấu của hai số \(a\) và \(b\) nếu biết:

a) \(ab>0\)

b) \({a \over b} > 0\)

c) \(ab<0\)

d) \({a \over b} < 0\)

Xem lời giải

Câu 3: trang 106 sgk Đại số 10

Trong các suy luận sau, suy luận nào đúng?

(A)\(\left\{ \matrix{x > 1 \hfill \cr y > 1 \hfill \cr} \right.\Rightarrow xy<1\)

(B) \(\left\{ \matrix{x > 1 \hfill \cr y > 1 \hfill \cr} \right.\Rightarrow  {x \over y} <1\)

(C)\(\left\{ \matrix{0 < x < 1 \hfill \cr y < 1 \hfill \cr} \right.\Rightarrow   xy<1\)

(D) \(\left\{ \matrix{x > 1 \hfill \cr y > 1 \hfill \cr} \right.\Rightarrow  x – y < 1\)

Xem lời giải

Câu 4: trang 106 sgk Đại số 10

Khi cân một vật với độ chính xác đến \(0,05kg\), người ta cho biết kết quả là \(P = 26,4kg\). Hãy chỉ ra khối lượng thực của vật đó nằm trong khoảng nào.

Xem lời giải

Câu 5: trang 106 sgk Đại số 10

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hãy vẽ đồ thị hai hàm số:

\(y =f(x) = x+1\) và \(y = g(x) =3-x\)

và chỉ ra các giá trị nào của x thỏa mãn

a) \(f(x)=g(x)\)

b) \(f(x)>g(x)\)

c) \(f(x)<g(x)\)

Kiểm tra lại kết quả bằng cách giải phương trình, bất phương trình.

Xem lời giải

Câu 6: trang 106 sgk Đại số 10

Cho \(a, b, c > 0\). Chứng minh rằng: \({{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6\)

Xem lời giải

Câu 7: trang 107 sgk Đại số 10

Điều kiện của một bất phương trình là gì? Thế nào là hai bất phương trình tương đương?

Xem lời giải

Câu 8: trang 107 sgk Đại số 10

Nêu quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình \(ax+by\leq c\)

Xem lời giải

Câu 9: trang 107 sgk Đại số 10

Phát biểu định lí về dấu của tam thức bậc hai.

Xem lời giải

Câu 10: trang 107 sgk Đại số 10

Cho \(a>0, b>0\). Chứng minh rằng: \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a  + \sqrt b \)

Xem lời giải

Câu 12: trang 107 sgk Đại số 10

Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai , chứng minh rằng: \(b^2x^2-(b^2 + c^2-a^2)x + c^2> 0,\forall x\)

Xem lời giải

Câu 13: trang 107 sgk Đại số 10

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

 \(\left\{ \matrix{3x + y \ge 9 \hfill \cr x \ge y - 3 \hfill \cr 2y \ge 8 - x \hfill \cr y \le 3 \hfill \cr} \right.\)

Xem lời giải

Xem thêm các bài Đại số lớp 10, hay khác:

Để học tốt Đại số lớp 10, loạt bài giải bài tập Đại số lớp 10 đầy đủ kiến thức, lý thuyết và bài tập được biên soạn bám sát theo nội dung sách giáo khoa Lớp 10.

Lớp 10 | Để học tốt Lớp 10 | Giải bài tập Lớp 10

Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 10, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 10 giúp bạn học tốt hơn.

Lớp 10 - Kết nối tri thức

Giải sách giáo khoa

Giải sách bài tập