Giải bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn – sgk Đại số 10 trang 80

Thế nào là bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn? Để giải đáp câu hỏi này, ConKec xin chia sẻ với các bạn bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn. Với lý thuyết và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học tập tốt hơn.

Nội dung bài viết gồm 2 phần:

  • Ôn tập lý thuyết
  • Hướng dẫn giải bài tập sgk

A. Tóm tắt lý thuyết

I. Khái niệm bất phương trình một ẩn

1. Bất phương trình

Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng \(f(x)<g(x) \,\,\,\,(f(x) \leq g(x))\,\,\,\,\, (1)\)

trong đó $f(x)$và $g(x)$là những biểu thức của $x$.

Ta gọi $f(x)$và $g(x)$lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1). Số thực $x_0$sao cho \(f(x)<g(x) \,\,\,\,(f(x) \leq g(x))\)là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1)

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng \(g(x)<f(x) \,\,\,\,(g(x) \geq f(x))\)

2. Điều kiện của một bất phương trình

Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số $x$để $f(x)$và $g(x)$có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1)

3. Bất phương trình chứa tham số

Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số thì bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó.

II. Hệ bất phương trình một ẩn

Hệ bất phương trình ẩn $x$gồm một số bất phương trình ẩn $x$mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.

Mỗi giá trị của $x$đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.

III. Một số phép biến đổi bất phương trình

1. Bất phương trình tương đương.

Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu $\Leftrightarrow $để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.

Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu $\Leftrightarrow $để chị sự tương đương đó.

2. Phép biến đổi tương đương

Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình), ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.

3. Cộng (trừ)

Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

\(P(x)<Q(x) \Leftrightarrow P(x)+f(x)<Q(x)+f(x) \)

Nhận xét: Nếu cộng hai vế của bất phương trình \(P(x)<Q(x)+f(x)\)với biểu thức \(-f(x)\)ta được bất phương trình \(P(x)-f(x)<Q(x)\). Do đó

\(P(x)<Q(x)+f(x) \Leftrightarrow P(x)-f(x)<Q(x)\)

4. Nhân (chia)

\(P(x)<Q(x) \Leftrightarrow P(x).f(x)<Q(x).f(x) \)nếu \(f(x)>0, \forall x\)

\(P(x)<Q(x) \Leftrightarrow P(x).f(x)>Q(x).f(x) \)nếu \(f(x)<0, \forall x\)

5. Bình phương

\(P(x)<Q(x) \Leftrightarrow P^2(x)<Q^2(x)\)nếu \(P(x)\geq 0,Q(x)\geq 0, \forall x\)

B. Bài tập & Lời giải

Câu 1: trang 87 sgk Đại số 10

Tìm các giá trị \(x\) thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:

a) \(\frac{1}{x}< 1-\frac{1}{x+1}\)

b)  \(\frac{1}{x^{2}-4}< \frac{2x}{x^{2}-4x+3}\)

c) \(2|x| - 1 + \sqrt[3]{x-1}<\frac{2x}{x+1}\)

d) \(2\sqrt{1-x}> 3x + \frac{1}{x+4}\)

Xem lời giải

Câu 2: trang 88 sgk Đại số 10

Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.

a) \(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3;\)

b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2};\)

c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1.\)

Xem lời giải

Câu 3: trang 88 sgk Đại số 10

Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?

a) \(- 4x + 1 > 0\) và \(4x - 1 <0\);

b) \(2x^2+5 ≤ 2x – 1\) và \(2x^2– 2x + 6 ≤ 0\);

c) \(x + 1 > 0\) và \(x + 1 + \frac{1}{x^{2}+1}>\frac{1}{x^{2}+1};\)

d) \(\sqrt{x-1} ≥ x\) và \((2x +1)\sqrt{x-1} ≥ x(2x + 1)\).

Xem lời giải

Câu 4: trang 88 sgk Đại số 10

Giải các bất phương trình sau

a) \(\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4};\)

b) \((2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 ≤ (x - 1)(x + 3) + x^2– 5\).

Xem lời giải

Câu 5: trang 88 sgk Đại số 10

Giải các hệ bất phương trình

a) \(\left\{\begin{matrix} 6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ \frac{8x+3}{2}< 2x+5; \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} 15x-2>2x+\frac{1}{3}\\ 2(x-4)< \frac{3x-14}{2}. \end{matrix}\right.\)

Xem lời giải

Xem thêm các bài Đại số lớp 10, hay khác:

Để học tốt Đại số lớp 10, loạt bài giải bài tập Đại số lớp 10 đầy đủ kiến thức, lý thuyết và bài tập được biên soạn bám sát theo nội dung sách giáo khoa Lớp 10.

Lớp 10 | Để học tốt Lớp 10 | Giải bài tập Lớp 10

Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 10, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 10 giúp bạn học tốt hơn.

Lớp 10 - Kết nối tri thức

Giải sách giáo khoa

Giải sách bài tập