Giải bài 1: Bất đẳng thức sgk Đại số 10 trang 74

Trong chương này, chúng ta sẽ làm quen về khái niệm bất đẳng thức và bất phương trình. ConKec xin chia sẻ với các bạn bài 1: Bất đẳng thức. Với lý thuyết và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học tập tốt hơn.

Nội dung bài học gồm 2 phần:

  • Lý thuyết cần biết
  • Hướng dẫn giải bài tập SGK

A. Lý thuyết cần biết

I. Ôn tập, nhắc lại kiến thức

1. Khái niệm bất đẳng thức

Các mệnh đề dạng "a < b" hoặc "a > b" được gọi là bất đẳng thức.

2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Nếu mệnh đề $"a < b\Rightarrow c<d"$đúng thì ta nói bất đẳng thức \(c<d\)là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức \(a<b\)

và cũng viết là $"a < b\Rightarrow c<d"$

3. Tính chất của bất đẳng thức

Tính chất

Tên gọi

Điều kiện

Nội dung

 

$a<b\Leftrightarrow a+c<b+c$

Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số

$c>0$

$a<b\Leftrightarrow ac<bc$

Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số

$c<0$

$a<b\Leftrightarrow ac>bc$

 

$a<b$và $c<d\Rightarrow a+c<b+d$

Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều

$a>0,c>0$

$a<b$và $c<d\Rightarrow ac<bd$

Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều

$n\in \mathbb{N}^{*}$

$a<b\Leftrightarrow a^{2n+1}<b^{2n+1}$

Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa

$n\in \mathbb{N}^{*}$và $a>0$

$a<b\Leftrightarrow a^{2n}<b^{2n}$

$a>0$

$a<b\Leftrightarrow \sqrt a<\sqrt b$

Khai căn hai vế của một bất đẳng thức

 

$a<b\Leftrightarrow \sqrt[3] a<\sqrt[3] b$

II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức Cô - si)

1. Bất đẳng thức Cô - si

ĐỊNH LÍ

Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.

\(\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}, \forall a, b \geq 0.\)    (1)

Đẳng thức \(\sqrt{ab} = \frac{a+b}{2}\)xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.

2. Các hệ quả

HỆ QUẢ 1

Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

$a+\frac{1}{a} \geq 2, \forall a>0$

HỆ QUẢ 2

Nếu $x, y$ cùng dương và có tổng không đổi thì tích $xy$lớn nhất khi và chỉ khi $x=y$

III. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Điều kiện Nội dung
  $|x|\geq 0, |x| geq x, |x| \geq -x$
$a>0$ $|x| \leq a\Leftrightarrow -a\leq x \leq a$
$|x| \geq a\Leftrightarrow x \leq -a$hoặc $x \geq a$
  $|a|-|b|\leq |a+b| \leq |a|+|b|$

Bài tập & Lời giải

Câu 1: trang 79 sgk Đại số 10

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của $x$?

a. $8x>4x$

b. $4x>8x$

c. $8x^2>4x^2$

d. $8+x>4+x$

Xem lời giải

Câu 2: trang 79 sgk Đại số 10

Cho số $x>5$,số nào trong các số sau đây là số nhỏ nhất?

$A=\frac{5}{x}$$B=\frac{5}{x}+1$$C=\frac{5}{x}-1$$D=\frac{x}{5}$

Xem lời giải

Câu 3: trang 79 sgk Đại số 10

Cho $a, b, c$là độ dài ba cạnh của một tam giác.

a. Chứng minh $(b-c)^2<a^2$

b. Từ đó suy ra $a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca).$

Xem lời giải

Câu 4: trang 79 sgk Đại số 10

Chứng minh rằng:

$x^3+y^3\geq x^2y+xy^2, \forall x\geq 0, \forall  y\geq 0$

Xem lời giải

Câu 5: trang 79 sgk Đại số 10

Chứng minh rằng:

$x^4-\sqrt{x^5}+x-\sqrt x+1>0, \forall x \geq 0$

Hướng dẫn: Đặt $\sqrt{x}=t$, xét hai trường hợp $0\leq x < 1; x \geq 1.$

Xem lời giải

Câu 6: trang 79 sgk Đại số 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ điểm A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Xem lời giải

Xem thêm các bài Đại số lớp 10, hay khác:

Để học tốt Đại số lớp 10, loạt bài giải bài tập Đại số lớp 10 đầy đủ kiến thức, lý thuyết và bài tập được biên soạn bám sát theo nội dung sách giáo khoa Lớp 10.

Lớp 10 | Để học tốt Lớp 10 | Giải bài tập Lớp 10

Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 10, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 10 giúp bạn học tốt hơn.

Lớp 10 - Kết nối tri thức

Giải sách giáo khoa

Giải sách bài tập