Nội dung bài học gồm 2 phần:
- Lý thuyết cần biết
- Hướng dẫn giải bài tập SGK
A. Lý thuyết cần biết
I. Ôn tập, nhắc lại kiến thức
1. Khái niệm bất đẳng thức
Các mệnh đề dạng "a < b" hoặc "a > b" được gọi là bất đẳng thức.
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
Nếu mệnh đề $"a < b\Rightarrow c<d"$đúng thì ta nói bất đẳng thức \(c<d\)là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức \(a<b\)
và cũng viết là $"a < b\Rightarrow c<d"$
3. Tính chất của bất đẳng thức
|
Tính chất |
Tên gọi |
|
|
Điều kiện |
Nội dung |
|
|
$a<b\Leftrightarrow a+c<b+c$ |
Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số |
|
|
$c>0$ |
$a<b\Leftrightarrow ac<bc$ |
Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số |
|
$c<0$ |
$a<b\Leftrightarrow ac>bc$ |
|
|
$a<b$và $c<d\Rightarrow a+c<b+d$ |
Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều |
|
|
$a>0,c>0$ |
$a<b$và $c<d\Rightarrow ac<bd$ |
Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều |
|
$n\in \mathbb{N}^{*}$ |
$a<b\Leftrightarrow a^{2n+1}<b^{2n+1}$ |
Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa |
|
$n\in \mathbb{N}^{*}$và $a>0$ |
$a<b\Leftrightarrow a^{2n}<b^{2n}$ |
|
|
$a>0$ |
$a<b\Leftrightarrow \sqrt a<\sqrt b$ |
Khai căn hai vế của một bất đẳng thức |
|
$a<b\Leftrightarrow \sqrt[3] a<\sqrt[3] b$ |
||
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức Cô - si)
1. Bất đẳng thức Cô - si
ĐỊNH LÍ
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.
\(\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}, \forall a, b \geq 0.\) (1)
Đẳng thức \(\sqrt{ab} = \frac{a+b}{2}\)xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.
2. Các hệ quả
HỆ QUẢ 1
Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
$a+\frac{1}{a} \geq 2, \forall a>0$
HỆ QUẢ 2
Nếu $x, y$ cùng dương và có tổng không đổi thì tích $xy$lớn nhất khi và chỉ khi $x=y$
III. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
| Điều kiện | Nội dung |
| $|x|\geq 0, |x| geq x, |x| \geq -x$ | |
| $a>0$ | $|x| \leq a\Leftrightarrow -a\leq x \leq a$ |
| $|x| \geq a\Leftrightarrow x \leq -a$hoặc $x \geq a$ | |
| $|a|-|b|\leq |a+b| \leq |a|+|b|$ |
Bài tập & Lời giải
Câu 1: trang 79 sgk Đại số 10
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của $x$?
a. $8x>4x$
b. $4x>8x$
c. $8x^2>4x^2$
d. $8+x>4+x$
Xem lời giải
Câu 2: trang 79 sgk Đại số 10
Cho số $x>5$,số nào trong các số sau đây là số nhỏ nhất?
| $A=\frac{5}{x}$ | $B=\frac{5}{x}+1$ | $C=\frac{5}{x}-1$ | $D=\frac{x}{5}$ |
Xem lời giải
Câu 3: trang 79 sgk Đại số 10
Cho $a, b, c$là độ dài ba cạnh của một tam giác.
a. Chứng minh $(b-c)^2<a^2$
b. Từ đó suy ra $a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca).$
Xem lời giải
Câu 4: trang 79 sgk Đại số 10
Chứng minh rằng:
$x^3+y^3\geq x^2y+xy^2, \forall x\geq 0, \forall y\geq 0$
Xem lời giải
Câu 5: trang 79 sgk Đại số 10
Chứng minh rằng:
$x^4-\sqrt{x^5}+x-\sqrt x+1>0, \forall x \geq 0$
Hướng dẫn: Đặt $\sqrt{x}=t$, xét hai trường hợp $0\leq x < 1; x \geq 1.$
Xem lời giải
Câu 6: trang 79 sgk Đại số 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ điểm A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.