Câu 1:Trang 126-sgk giải tích 12
a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng.
b) Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa.
Bài Làm:
a) Cho hàm số f(x) xác định trên K ( k là nửa khoảng hay đoạn của trục số).
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu $F'(x)=f(x)$ với mọi x thuộc K.
Định lý
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì:
- Với mỗi hằng số C, $F(x) + C$ cũng là một nguyên hàm của hàm số trên f(x) trên K.
- G(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho: $G(x) = F (x) +C$
b)
Định lí 2
- Nếu hai hàm số $u=u(x)$ và $v=v(x)$ có đạo hàm liên tục trên K thì:
| $\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx$ |
- Hay: $\int udv=uv-\int vdu$ với $ v'(x)dx=dv,u'(x)dx=du$
Ví dụ minh họa:
Tính: $\int x\ln (1+x)dx$ ( Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần )
Lời giải:
Đặt $u= \ln(1+x)$ , $dv= xdx$
=> $du=\frac{1}{1-x}dx$ ,
$v=\frac{x^{2}}{2}
Ta có: $\int x\ln(1+x)dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(1+x)−\int \frac{x^{2}dx}{2(x+1)}$
<=> $\int x\ln(1+x)dx= $\frac{1}{2}(x^{2}-1)\ln(1-x)-\frac{x^{2}}{4}+\frac{x}{2}+C$