Biểu diễn hình học của số phức

Bài tập 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ sao cho $u=\frac{z+2+3i}{z-i}$ là một số thuần ảo?

Bài giải:

Đặt $z=x+yi$. Khi đó

$u=\frac{z+2+3i}{z-i}=\frac{(x+2)+(y+3)i}{x+(y-1)i}$ $=\frac{[(x+2)+(y+3)i][x-(y-1)i]}{x^2+(y-1)^2}$.

$u$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+y^2+2x+2y-3=0\\x^2+(y-1)^2 >0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x+1)^2+(y+1)^2=5\\(x;y)\neq (0;1) \end{matrix}\right.$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của $z$ là đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính $\sqrt{5}$ trừ điểm (0;1).

Bài tập 2: Tìm tập hợp số phức $z$ thoả mãn $|z-3i|+|i\bar{z}+3|=10.$

Bài giải:

Gọi $z=x+yi$. Theo bài ra ta có:

$\sqrt{x^2+(y-3)^2}+\sqrt{(y+3)^2+x^2}=10$

$\Rightarrow x^2+(y-3)^2=100+(y+3)^2+x^2-20\sqrt{(y+3)^2+x^2}$

$\Rightarrow 10\sqrt{(y+3)^2+x^2}=50+6y$

$\Rightarrow 25x^2+16y^2=400$.

Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức $z$ là Elip: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1.$