Các phép tính về số phức và các bài toán định tính

I. Phương pháp giải

Ta sử dụng:

• Các công thức cộng, trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức.
• $z=a+bi$ thì phần thực bằng a; phần ảo bằng b.

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tính môđun của số phức z, biết $\frac{|z|^2}{z}+iz+\frac{z-i}{1-i}=0$

Bài giải:

Dễ thấy $z.\bar{z}=|z|^2 \Leftrightarrow \bar{z}=\frac{|z|^2}{z}$. 

Khi đó, ta được $\bar{z}+iz+\frac{z-i}{1-i}=0$

$\Leftrightarrow \bar{z}+iz+\frac{(z-i)(1+i)}{2}=0$

$\Leftrightarrow 2iz+2\bar{z}+z-i+iz-i^2=0$

$\Leftrightarrow (3i+1)z+2\bar{z}=i-1.$

Đặt $z=x+yi \Rightarrow  \bar{z}=x-yi.$ Khi đó, ta được

$(3i+1)(x+yi)+2x-2yi=i-1.$

$\Leftrightarrow 3xi-3y+3x-yi=i-1$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}3x-3y=-1\\3x-y=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=1\\x=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.$

Vậy $z=\frac{2}{3}+i$. Vậy $|z|=\frac{\sqrt{13}}{3}$.

Bài tập 2: Cho số phức $z= a+bi$ thoả mãn điều kiện $|z^2+4|=2|z|$. Đặt $P=8(b^2+a^2)-12.$

Chứng minh: $P=(|z|^2 - 2)^2.$

Bài giải:

Ta có $z=a+bi \Rightarrow z^2=a^2-b^2+2abi \Rightarrow z^2+4=a^2-b^2+4+2abi. $

Khi đó, giả thiết $|z^2+4|=2|z|$

$\Leftrightarrow (a^2-b^2+4)^2+4 a^2 b^2=4(a^2+b^2)$

$\Leftrightarrow 8(b^2-a^2)=16-4(a^2+b^2)+(a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow P=(a^2+b^2)^2-4(a^2+b^2)+4= |z|^4-4|z|^2+4=(|z|^2-2)^2.$