Câu 58: Trang 92 - SGK Toán 8 tập 2
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), vẽ các đường cao BH, CK (h.66).
a) Chứng minh BK = CH.
b) Chứng minh KH // BC.
c) Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.
Hướng dẫn câu c)
- Vẽ thêm đường cao AI, xét hai tam giác đồng dạng IAC và HBC rồi tính CH.
- Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng AKH và ABC rồi tính HK.
Bài Làm:
a) Xét hai tam giác vuông BKC và CHB có:
\(\widehat {KBC} = \widehat {HCB}\) (do ∆ABC cân tại A)
BC là cạnh chung
=>∆BKC = ∆CHB (Cạnh huyền - góc nhọn)
=>BK = CH (cặp cạnh tương ứng)
b) Ta có: AB = AC (∆ABC cân tại A)
BK = CH (∆BKC = ∆CHB)
=> $AB-BK=AC-CH$
=> $AK = AH$
Do đó: \({{AK} \over {AB}} = {{AH} \over {AC}}\) => KH // BC (định lí Ta lét đảo)
c) Trong tam giác cân ABC, có BH cắt CK tại M => M là trực tâm của ∆ABC.
=> AM ⊥ BC tại I (tính chất trong tam giác cân)
Xét ∆AIC và ∆BHC có: \(\left\{ {\matrix{{\hat I = \hat H = {{90}^0}} \cr {\hat C chung} \cr} } \right.\)
=> ∆AIC ∽ ∆BHC (góc - góc)
=>\({{IC} \over {HC}} = {{AC} \over {BC}}\) (cặp cạnh tương ứng)
hay \({{{a \over 2}} \over {HC}} = {b \over a} => HC = {{{a^2}} \over {2b}}\)
=>\(AH = b - {{{a^2}} \over {2b}} = {{2{b^2} - {a^2}} \over {2b}}\)
Mà HK // BC => \({{HK} \over {BC}} = {{AH} \over {AC}} => HK = {{BC.AH} \over {AC}}\)
=>\(HK = {a \over b}\left( {{{2{b^2} - {a^2}} \over {2b}}} \right) = {{2a{b^2} - {a^2}} \over {2{b^2}}}\)