Câu 59: Trang 92 - SGK Toán 8 tập 2
Hình thang ABCD (AB // CD) có AC và BD cắt nhau tại O, AD và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD.
Bài Làm:
Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, CD cắt AD, BC lần lượt tại E, F.
Ta có: OE // CD => $\frac{OE}{CD}=\frac{OA}{AC}$ (1)
Ta có: OF // CD => $\frac{OF}{CD}=\frac{OB}{BD}$ (2)
Ta có: AB // CD => $\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$
=> $\frac{OA}{OA+OC}=\frac{OB}{OB+OD}=> \frac{OA}{AC}=\frac{OB}{BD}$ (3)
Từ (1) (2) (3) => $\frac{OE}{CD}=\frac{OF}{CD}$ => $OE = OF$.
Xét tam giác OKE có AN // OE
=> \({{AN} \over {EO}} = {{KN} \over {KO}}\) (4)
Xét tam giác OKF có: BN // OF
=> \({{BN} \over {OF}} = {{KN} \over {KO}}\) (5)
Từ (4) (5) =>\({{AN} \over {EO}} = {{BN} \over {FO}}\) mà OE = OF (cmt)
=>AN = BN hay N là trung điểm của AB.
Chứng minh tương tự: \({{DM} \over {OE}} = {{CM} \over {OF}} = > MD = MC\)
=>M là trung điểm của CD.
Vậy đường thẳng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB, CD.
