Câu 60: Trang 92 - SGK Toán 8 tập 2
Cho tam giác vuông ABC, góc A = $90^0$, góc C = $30^0$ và đường phân giác BD (D thuộc cạnh AC).
a) Tính tỉ số $\frac{AD}{CD}$.
b) Cho biết độ dài AB = 12,5cm. Hãy tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
Bài Làm:
a) Tam giác ABC vuông tại C, có $\widehat{C}=30^0$ (gt) nên $\widehat{ABC}=90^0-\widehat{C}=60^0$
Trên tia đối của tia AB lấy điểm B' sao cho AB = AB'.
Xét tam giác ABC và AB'C có:
AC chung
AB = AB'
=> $\Delta ABC = \Delta AB'C$ (cạnh - góc - cạnh)
=> $BC = B'C => \Delta BB'C$ cân tại C.
Mà $\Delta BB'C$ có $\widehat{ABC}=60^0$ (cmt) nên $\Delta BB'C$ đều.
Có AC là đường cao (do $\widehat{A}=90^0$)
=> AC đồng thời là trung tuyến => A là trung điểm BB'
=> $AB=\frac{1}{2}.BB'$ mà BB' = BC (do tam giác BB'C đều - cmt)
=> $AB = \frac{1}{2}.BC=>\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$
Trong tam giác ABC có BD là tia phân giác của góc $\widehat{ABC}$ nên
$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}$
=> $\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$
b) ∆ABC vuông tại A nên $AC^2= BC^2– AB^2$ (định lý Pitago) mà BC = 2AB (cmt)
=> $AC^2= 4AB^2– AB^2= 3AB^2$
=> \(AC=\sqrt {3A{B^2}} = AB\sqrt 3 = 12,5\sqrt 3 \approx 21,65\left( {cm} \right)\)
Gọi p là chu vi ∆ABC => $p = AB + BC + CA$
=> $p = 3AB + AC = 3.12,5 + 12,5.\sqrt 3$
=> $p = 12,5. (3+\sqrt 3 ) \approx 59,15\left( {cm} \right)$
Và \({S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC \approx 135,31(c{m^2})\)
