Câu 57: Trang 92 - SGK Toán 8 tập 2
Cho tam giác ABC (AB < AC). Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm H, D, M.
Bài Làm:
- Nhận xét: D luôn nằm giữa H và M.
- Chứng minh
AD là đường phân giác của ∆ABC
=>\({{AB} \over {AC}} = {{DB} \over {DC}}\) mà $AB < AC$
=>$DB < DC$
=> $DB + DC < DC + DC$ (cùng cộng hai vế với CD)
=> $BD + DC < 2DC$
hay \(BC < 2DC => DC >{{BC} \over 2}\) (1)
Vì M là trung điểm của BC nên \(MC = {{BC} \over 2}\) (2)
Từ (1) (2) => DC > MC => M nằm giữa D và C (*)
Mặt khác: \(\widehat {CAH} = {90^0} - \widehat {C}\) (do ∆CAH vuông tại H)
và \(\widehat {A} + \widehat {B} + \widehat {C} = {180^0}\) (tổng 3 góc ∆ABC)
=>\(\widehat {CAH} = {{\hat A + \hat B + \hat C} \over 2} - \hat C\)
=>\(\widehat {CAH} = {{\hat A} \over 2} + {{\hat B} \over 2} - {{\hat C} \over 2} = {{\hat A} \over 2} + {{\hat B - \hat C} \over 2}\)
Vì AB < AC =>\(\widehat C < \widehat B \Rightarrow \widehat B - \widehat C > 0\)
Do đó: \(\widehat {CAH} > {{\hat A} \over 2}\) hay \(\widehat {CAH} > \widehat {CAD}\)
=> Tia AD nằm giữa hai tia AH và AC => D nằm giữa hai điểm H và C (**)
Từ (*) và (**) => D nằm giữa H và M.
