Câu 3: trang 79 sgk Đại số 10
Cho $a, b, c$là độ dài ba cạnh của một tam giác.
a. Chứng minh $(b-c)^2<a^2$
b. Từ đó suy ra $a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca).$
Bài Làm:
a) Ta biết trong một tam giác thì một cạnh luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh kia.
\(a + b > c \Rightarrow a + b - c > 0\)
\(a + c > b \Rightarrow a + c - b > 0\)
\(\Rightarrow [a + (b +c)][a - (b - c)] > 0\)
\( \Rightarrow {a^2} - {(b - c)^2} > 0 \Rightarrow {a^2} > {(b - c)^2}\)(đpcm)
b) Từ kết quả câu a), ta có:
\({a^2} + {b^2} + {c^2} > {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a-c} \right)^2} + {\left( {a - b} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} > {b^2} + {c^2}-2bc + {a^2} + {c^2}-2ac + {a^2} + {b^2}-2ab\)
\( \Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)-2\left( {ab + bc + ac} \right) < {a^2} + {b^2} + {c^2}\)
\( \Leftrightarrow 2\left( {ab + bc + ac} \right) > {a^2} + {b^2} + {c^2}\)(đpcm)