Bài tập 7 trang 94 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA.
a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).
b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: $\frac{GM}{GA}=\frac{GN}{GB}=\frac{1}{3}$.
c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và $\frac{GP}{GC}=\frac{GQ}{GD}=\frac{1}{3}$.
Bài Làm:
a) Ta có: M là trọng tâm của $\triangle $BCD, mà I là trung điểm của CD
Nên: M nằm trên trung tuyến BI (1)
Ta có: N là trọng tâm của $\triangle $ACD, mà I là trung điểm của CD
Nên: N nằm trên trung tuyến AI (2)
Từ (1)(2) suy ra: M và N thuộc (ABI).
b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AG, BG.
Ta có: HK // AB
Mà AB // MN
Suy ra: MN // HK.
Theo định lý Ta-lét, ta có: $\frac{GM}{GH}=\frac{GN}{GK}=\frac{MN}{HK}$ (1)
Ta có: $\frac{HK}{AB}=\frac{1}{2}$, $\frac{MN}{AB}=\frac{1}{3}$
Do đó: $\frac{MN}{AB}:\frac{HK}{AB}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{MN}{HK}=\frac{2}{3}$ (2)
(1)(2) suy ra: $\frac{GM}{GH}=\frac{2}{3} GH=\frac{1}{2}GA \Rightarrow \frac{GM}{\frac{1}{2}GA}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{GM}{GA}=\frac{1}{3}$
Chứng minh tương tự ta được: $\frac{GN}{GB}=\frac{1}{3}$.
c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC, BD
$\triangle $AHD có: $\frac{HM}{HD}=\frac{HQ}{HA}=\frac{1}{3}$
Suy ra: QM // AD
Do đó: $\triangle $QGM đồng dạng với $\triangle $DGA
Nên D, G, Q thẳng hàng
Ta có: QM// AD nên $\frac{QM}{AD}=\frac{HM}{HD}=\frac{HQ}{HA}=\frac{1}{3}$
Mà $\frac{QM}{AD}=\frac{QG}{GD}$
Do đó: $\frac{QG}{GD}=\frac{1}{3}$
Chứng minh tương tự ta được: $\frac{GP}{GC}=\frac{1}{3}$
Suy ra điều cần chứng minh.
