2. Hình tứ diện
Luyện tập, vận dụng 6: Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AD, BC sao cho: $\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}, \frac{AN}{AD}=\frac{2}{3}, \frac{BP}{BC}=\frac{3}{4}$.
a) Xác định E, F lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AC, BD với mặt phẳng (MNP).
b) Chứng minh rằng các đường thẳng NE, PF và CD cùng đi qua một điểm.
Bài Làm:
a) - $\triangle $ABC có: MP cắt AC tại E mà MP thuộc (MNP) nên E là giao điểm của AC và (MNP).
- $\triangle $ABD có: MN cắt BD tại F mà MN thuộc (MNP) nên F là giao điểm của BD và (MNP).
b) Ta có: P thuộc BC nên P thuộc (BCD)
F thuộc BD nên F thuộc (BCD)
Suy ra: PF thuộc (BCD) mà CD thuộc (BCD). Do đó, PF và CD cùng thuộc (BCD) nên PF và CD cắt nhau tại một điểm (1)
Ta có: N thuộc AD, E thuộc AC. Suy ra, NE thuộc (ACD) mà CD thuộc thuộc (ACD) nên NE cắt CD tại một điểm (2)
Từ (1)(2) suy ra NE, PF, CD cùng đi qua một điểm.
