Câu 8: trang 156 sgk Đại số 10
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào \(x\)
a) \(A = \sin ({\pi \over 4} + x) - \cos ({\pi \over 4} - x)\)
b) \(B = \cos ({\pi \over 6} - x) - \sin ({\pi \over 3} + x)\)
c) \(C = {\sin ^2}x + \cos ({\pi \over 3} - x)cos({\pi \over 3} + x)\)
d) \(D = {{1 - \cos 2x + \sin 2x} \over {1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\)
Bài Làm:
a) \(A = \sin \left ( {\pi \over 4} + x \right ) - \cos \left ( {\pi \over 4} - x \right ) \)
\(= \sin {\pi \over 4}\cos x + \cos {\pi \over 4}\sin x - \cos x\cos {\pi \over 4} - \sin x \sin {\pi \over 4} \)
\(= {{\sqrt 2 } \over 2}(\cos x + \sin x - \cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}) = 0 \)
Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào \(x\)
b) \(B = \cos \left ( {\pi \over 6} - x \right )- \sin \left ( {\pi \over 3} + x \right ) \)
\(= \cos {\pi \over 6}{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + \sin {\pi \over 6}sinx - sin{\pi \over 3}\cos x - \cos {\pi \over 3}\sin x \)
\(= \cos x\left ( \cos {\pi \over 6} - sin{\pi \over 3} \right )+ sin\,x\left ( sin\,\frac{\pi }{6}-cos\,\frac{\pi }{3} \right )\)
\(=0.cos\,x+0.sin\,x=0\)
Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào x.
c) \(C = {\sin ^2}x + cos \,\left ( {\pi \over 3} - x \right )\,cos\,\left ( {\pi \over 3} + x \right ) \)
\(= {\sin ^2}x + \left[ {\cos {\pi \over 3}\cos x + \sin {\pi \over 3}\sin x} \right]\left[ {\cos {\pi \over 3}\cos x - \sin {\pi \over 3}\sin x} \right] \)
\(= {\sin ^2}x + {\cos ^2}{\pi \over 3}{\cos ^2}x - {\sin ^2}{\pi \over 3}{\sin ^2}x \)
\(= {\sin ^2}x + {1 \over 4}{\cos ^2}x - {3 \over 4}{\sin ^2}x \)
\(=\frac{1}{4}cos^2\,x+\frac{1}{4}\,sin^2\,x\)
\(= {1 \over 4}({\cos ^2}x + {\sin ^2}x) = {1 \over 4} \)
Vậy biểu thức C không phụ thuộc vào x.
d) \(D = {{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x} \over {2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}\cot x\)
\(= \frac{2sin\,x(sin\,x+cos\,x)}{2cos\,x(cos\,x+sin\,x)}.\frac{cos\,x}{sin\,x}\)
\(=\frac{sin\,x}{cos\,x}.\frac{cos\,x}{sin\,x}=1\)
Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào x.