Câu 44: Trang 80 - SGK Toán 8 tập 2
Cho tam giác ABC có các cạnh AB= 24cm, AC = 28cm. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên AD.
a) Tính tỉ số \(\frac{BM}{CN}\).
b) Chứng minh rằng \(\frac{AM}{AN} = \frac{DM}{DN}\)
Bài Làm:
a) AD là đường phân giác của ∆ABC
=> \(\frac{DB}{DC}= \frac{AB}{AC}\)
=> \(\frac{DB}{DC} = \frac{24}{28} = \frac{6}{7}\)
Vì M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C lên AD nên $BM\perp AD;\,\ CN\perp AD=>BM // CN$.
=> $\widehat{MBD}=\widehat{NCD}$ (2 góc so le trong)
Xét ∆BMD và ∆CND có:
- $\widehat{MBD}=\widehat{NCD}$ (cmt)
- $\widehat{MDB}=\widehat{NDC}$ (đối đỉnh)
=> ∆BMD ∽ ∆CND (góc - góc)
=> \(\frac{BM}{CN}= \frac{BD}{CD}\) (cặp cạnh tương ứng)
mà \(\frac{DB}{DC} = \frac{6}{7}\) (cmt)
Vậy \(\frac{BM}{CN}\) = \(\frac{6}{7}\)
b) ∆ABM và ∆ACN có:
- \(\widehat{ABM}= \widehat{CAN}\)
- \(\widehat{BMA}= \widehat{CNA}=90^0\)
=> ∆ABM ∽ ∆ACN (góc - góc)
=> \(\frac{AM}{AN} = \frac{AB}{AC}\) (cặp cạnh tương ứng)
mà \(\frac{AB}{AC}= \frac{DB}{DC}\) (cmt)
và \(\frac{BD}{CD} = \frac{DM}{DN}\)
=> \(\frac{AM}{AN} = \frac{DM}{DN}\)
